Стајн–Стрембергова теорема

Стајн–Стрембергова теорема или Стајн–Стрембергово неравенство е резултат во теоријата на мерките во врска со максималниот оператор Hardy–Littlewood. Резултатот е основен во проучувањето на проблемот на диференцијација на интегралите. Резултатот е именуван по математичарите Елијас Стајн и Јан-Улов Стремберг.

Изјава за теоремата

Нека λⁿ ја означува n-димензионалната мерка на Lebesgue на n -димензионалниот Евклидов простор Rⁿ и нека M го означува Харди-Литлвудовиот максимален оператор: за функција f : Rⁿ → R, Mf : Rⁿ → R е дефиниран со

$Mf(x)=\underset{r>0}{\sup }\frac{1}{{\lambda }^n(B_r(x))}\underset{B_r(x)}{\int }|f(y)|\mathrm{d}{\lambda }^n(y),$

каде што B_r( x ) ја означува отворената топка со полупречник r со центарот x. Потоа, за секој p > 1, има постојана C_p > 0 такви што, за сите природни броеви n и функции f ∈ L^p ( Rⁿ ; R ),

$\Vert Mf{\Vert }_{L^p}\le C_p\Vert f{\Vert }_{L^p}.$

Општо, се вели дека максималниот оператор M е од силен тип (p, p) ако

$\Vert Mf{\Vert }_{L^p}\le C_{p,n}\Vert f{\Vert }_{L^p}$

за сите f ∈ L^p (R ⁿ; R). Така, Стајн–Стремберговата теорема е изјава дека Харди-Литлвудовиот максимален оператор е од силен тип (p , p) подеднакво во однос на димензијата n.

Наводи

• Предлошка:Наведено списание MR727348
• Предлошка:Наведено списание MR951621