Стјуартова теорема

(Слика 1) Со помош на Стјуартовата теорема може да се изрази должината d преку должините a, b, c, n и m.

Во геометријата, Стјуартовата теорема укажува на односот на должините на страните на триаголник и должините на отсечките со една крајна точка на странат ана триаголникот, а другата во темето на спротивната страна (слика 1). Именувана е во чест на шкотскиот математичар Метју Стјуарт (Предлошка:Lang-en околу 1717/1719 - 23 јануари 1785) кој ја докажал оваа теорема во 1749 година. Стјуартовата теорема наложува дека:

$A{P}^2=\frac{BP}{BC}A{C}^2+\frac{CP}{BC}A{B}^2-BP$ · $CP$

Доказ преку тригонометрија

Теоремата може да се докаже на следниот начин:

Нека θ е аголот меѓу m и d, и θ′ аголот меѓу n и d. Тогаш θ′ е суплементен на аголот θ па cos θ′ = −cos θ. Според косинусната теорема за агли θ и θ′

$\begin{array}{cc}{c}^2& =m^2+d^2-2dm\cos \theta \\ b^2& =n^2+d^2-2dn\cos {\theta }^{\prime }\\ & =n^2+d^2+2dn\cos \theta .\end{array}$

Првата равенка се множи со n, втората со m, и се собираат за да се скрати cos θ, па се добива

$\begin{array}{cc}& b^{2}m+c^{2}n\\ & =n{m}^2+n^{2}m+(m+n)d^2\\ & =(m+n)(mn+d^2)\\ & =a(mn+d^2)\\ \end{array}$

Со средување се добива првобитниот облик:

$A{P}^2=\frac{BP}{BC}A{C}^2+\frac{CP}{BC}A{B}^2-BP$ · $CP$

Поврзано

• Триаголник
• Тежишна линија

Литература

• Предлошка:Наведена книга