Френелови интеграли

Френелови интеграли $S(x)$ и $C(x)$ - математички трансцендентни функции кои Огистен-Жан Френел ги користел во оптиката. Се користат да ја опишат Френеловата дифракција, а се дефинирани со следните интеграли:

$S(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sin (t^2)dt,C(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\cos (t^2)dt.$

Со истовремен параметарски цртеж на двата интеграла се добива Ојлерова спирала.

Дефиниција

$S(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sin (t^2)dt=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)},$

$C(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\cos (t^2)dt=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}.$

Некои автори го користата $\frac{\pi }{2}{t}^2$ како аргумент во интегралот при дефинирање на $S(x)$ и $C(x)$. Тогаш интегралите се множат со $\sqrt{\frac{2}{\pi }}$, а аргументот x со $(\frac{\pi }{2}{)}^{1/2}$.

Ојлерова спирала

Ојлерова спирала

Ојлеровата спирала е позната и како Корнуова спирала или клотоида, а се добива со параметарски приказ на $S(t)$ спрема $C(t)$. Со помош на дефинициите на Френеловите интеграли за dx и dy се добива:

$dx=C^{\prime }(t)dt=\cos (t^2)dt$

$dy=S^{\prime }(t)dt=\sin (t^2)dt$

Должината на спиралата мерена од извориштето може да се претстави како:

$L=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}=\underset{0}{\overset{t}{\int }}dt=t$

Својства

• $S(x)$ и $C(x)$ се непарни функции
• Френеловите интеграли можат да се изразат преку функцијата на грешка $\mathrm{erf}(x)$:

$S(x)=\frac{\sqrt{\pi }}{4}(\sqrt{i}\mathrm{erf}(\sqrt{i}x)+\sqrt{-i}\mathrm{erf}(\sqrt{-i}x))$

$C(x)=\frac{\sqrt{\pi }}{4}(\sqrt{-i}\mathrm{erf}(\sqrt{i}x)+\sqrt{i}\mathrm{erf}(\sqrt{-i}x)).$

• Интегралите не можат да се пресметаат во затворена форма со помош на елементарни функции, освен во специјални случаи. Како x тежи кон бесконечност се добива:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cos t^{2}dt=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sin t^{2}dt=\frac{\sqrt{2\pi }}{4}=\sqrt{\frac{\pi }{8}}.$

Генерализација

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sin (x^a)dx=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{a}\right)\sin (\frac{\pi }{2a})}{a}$

Литература

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. Предлошка:Page
• Френелови интеграли

Надворешни врски

• Cephes, Free and open-source software C++/C code to compute Fresnel integrals among other special functions. Used in SciPy and ALGLIB.
• Faddeeva Package, Free and open-source software C++/C code to compute complex error functions (from which the Fresnel integrals can be obtained), with wrappers for Matlab, Python, and other languages.
• Предлошка:Springer
• Предлошка:Наведена мрежна страница
• Предлошка:Mathworld
• Предлошка:Mathworld