Хевисајдова функција

Хевисајдовата функција е прикажана со конвенција дека вредноста на функцијата за =0 е еднаква на 0,5

Хевисајдова функцијата (исто така наречена единична откскочна функција), именувана по Оливер Хевисајд — прекинувачка функција која има вредност нула за негативните вредности на аргументот и еден за позитивните вредности на аргументот:

$u(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x<0\\ 1,& x>0\end{array}$

Функцијата се користи во математиката на системи за управување и обработка на сигнали за да претставува сигнал кој ја менува состојбата (се вклучува или исклучува) во одредено време и останува во таа состојба бесконечно долго.

Хевисајдовата функцијата претставува функција на распределба на случајна променлива која речиси сигурно има вредност од 0.

Хевисајдовата функција е интеграл на Дираковата делта функција.

$u(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\delta (t)dt$

Не е усвоена единствена дефиниција за вредноста (0). Некои автори даваат (0) = 0, некои (0) = 1. Различни вредности имаат смисла во различни толкувања на Хевисајдовата функција. (0) = 1/2 е можеби најприфатената вредност,Предлошка:Се бара извор бидејќи ја максимизира симетријата на функцијата и станува целосно конзистентна со сигнувм функцијата. Ова нè води до следнава дефиниција:

$u(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x<0\\ \frac{1}{2},& x=0\\ 1,& x>0\end{array}$

$u(x)=\frac{1}{2}(1+\mathrm{sgn}(x))$

Често е корисна и интегралната претстава на отксочната функција:

$u(x)=\underset{ϵ\to 0}{\lim }-\frac{1}{2\pi i}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{\tau +iϵ}{e}^{-ix\tau }d\tau$

Дискретен облик

Можеме да дефинираме и алтернативен облик на единичната отскочна функцијата за дискретна променлива:

$u[n]=\{\begin{array}{cc}0,& n<0\\ 1,& n\ge 0\end{array}$

каде n е цел број.

Оваа функција е кумулативна сума на Кронекеровата делта функција:

$u[n]=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^n\delta [k]$

при што

$\delta [k]={\delta }_{k,0}$

функција на дискретен единичен импулс.