Хелмхолцова равенка

Хелмхолцова равенка – елиптична парцијална диференцијална равенка:

$(\mathrm{\Delta }+k^2)U=0$

каде $\mathrm{\Delta }={\mathrm{\nabla }}^2$ претставува Лапласов оператор, $k$ е бранов број, а $U$ амплитуда. Нехомогената Хелмхолцова равенка го има обликот:

$(\mathrm{\Delta }+k^2)U=f$

Извод

Може да се забележи дека во Хелмхолцовата равенка нема оператори кои претставуваат изводи по време. Хелмхолцовата равенка може да се добие од брановата равенка:

$({\mathrm{\nabla }}^2-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2})u(𝐫,t)=0.$ (1)

Се претпоставува дека брановата функција се решава со сепарација на променливите по простор и време:

$u(𝐫,t)=A(𝐫)T(t).$ (2)

Заменувајќи го изразот (2) во изразот (1) се добива следнава равенка:

$\frac{{\mathrm{\nabla }}^{2}A}{A}=\frac{1}{c^{2}T}\frac{d^{2}T}{d{t}^2}.$ (3)

Левата страна на равенката (3) зависи само од просторните координати, а десната страна од времето. Заради сето тоа, во општ случај двете страни на равенката се еднакви на некоја константа, па се добиваат две равенки:

$\frac{{\mathrm{\nabla }}^{2}A}{A}=-k^2$ (4)

и

$\frac{1}{c^{2}T}\frac{d^{2}T}{d{t}^2}=-k^2$ (5)

Преуредувајќи ја равенката (4) се добива:

${\mathrm{\nabla }}^{2}A+k^{2}A=({\mathrm{\nabla }}^2+k^2)A=0.$ (6)

а преуредувајќи ја равенката (5) со помош на супституција $\omega \stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}kc$ се добива:

$\frac{d^{2}T}{d{t}^2}+{\omega }^{2}T=(\frac{d^2}{d{t}^2}+{\omega }^2)T=0,$

Притоа k е бранов вектор, , а ω е аголна честота.

Решавање на Хелмхолцовата равенка со сепарација на променливите

За Хелмхолцовата равенка:

$({\mathrm{\nabla }}^2+k^2)A=0$ (7)

Лапласовиот оператор во поларни координати се запишува како:

$\begin{array}{ccc}\mathrm{\Delta }A& =\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial A}\left(r\frac{\partial A}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}A}{\partial {\varphi }^2}& =\frac{1}{r}\frac{\partial A}{\partial r}+\frac{{\partial }^{2}A}{\partial r^2}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}A}{\partial {\varphi }^2}.\end{array}$

Заради тоа равенката (7) станува:

$\frac{1}{r}\frac{\partial A}{\partial r}+\frac{{\partial }^{2}A}{\partial r^2}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}A}{\partial {\varphi }^2}+(k^2)A=0$ (8)

Се прави обид равенката да се реши со сепарација на променливите:

$A(r,\theta )=R(r)\mathrm{\Theta }(\theta ),$

каде Θ мора да биде периодична со периода 2π. Од каде следи:

${\mathrm{\Theta }}^{″}+n^2\mathrm{\Theta }=0,$ (9)

и

$r^2{R}^{″}+r{R}^{\prime }+r^2{k}^{2}R-n^{2}R=0.$ (10)

Решенијата од (9) и (10) се:

$\mathrm{\Theta }=\alpha \cos n\theta +\beta \sin n\theta ,$

$R(r)=\gamma J_n(\rho ),$

каде $J_n(\rho )$ е Беселова функција, која е решение на Беселовата равенка:

${\rho }^2{J_n}^{″}+\rho {J_n}^{\prime }+({\rho }^2-n^2)J_n=0,$

Тридимензионално решение во сферни координати

Во сферни координати општото решение на Хелмхолцовата равенка е:

$A(r,\theta ,\phi )=\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=-\ell }^{\ell }(a_{\ell m}{j}_{\ell }(kr)+b_{\ell m}{y}_{\ell }(kr))Y_{\ell }^m(\theta ,\phi ).$

каде $j_{\ell }(kr)$ и $y_{\ell }(kr)$ се сферни Беселови функции, а :$Y_{\ell }^m(\theta ,\phi )$ ги претставува сферните хармоници.

Нехомогена Хелмхолцова равенка

Нехомогената Хелмхолцова равенка:

$(\mathrm{\Delta }+k^2)U=f$

се решава со помош на Гриновата функција, односно:

${\mathrm{\nabla }}^{2}G(x)+k^{2}G(x)=\delta (x).$

Бидејќи е:

$(\mathrm{△}+k^2)\frac{1}{|x|}{e}^{ik|x|}=e^{ik|x|}\mathrm{△}\frac{1}{|x|}+2(\mathrm{grad}{e}^{ik|x|},\mathrm{grad}\frac{1}{|x|})+\frac{1}{|x|}\mathrm{△}{e}^{ik|x|}+\frac{k^2}{|x|}{e}^{ik|x|}=$

$=-4\pi e^{ik|x|}\delta (x)+(-\frac{2ik}{|x{|}^2}+\frac{2ik}{|x{|}^2}-\frac{k^2}{|x|}+\frac{k^2}{|x|})e^{ik|x|}=-4\pi \delta (x).$ тогаш е тридимензионална Гринова функција:

$G_1(x)=-\frac{e^{ik|x|}}{4\pi |x|},G_2=-\frac{e^{-ik|x|}}{4\pi |x|}.$

Горенапишаните равенки може да се напишат во векторски облик како:

$(\mathrm{\Delta }+k^2)G(\overrightarrow{r},{\overrightarrow{r}}^{\prime })=\delta (\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime })$

а Гриновата функција како:

$G(\overrightarrow{r},{\overrightarrow{r}}^{\prime })=-\frac{\exp (\pm ik|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }|)}{4\pi |\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }|}$

Решението на нехомогената Хелмхолцова равенка тогаш може да се прикаже со Гриновата функција како:

$U(\overrightarrow{r})=\int d^3{r}^{\prime }f({\overrightarrow{r}}^{\prime })G(\overrightarrow{r},{\overrightarrow{r}}^{\prime })=-\int d^3{r}^{\prime }f({\overrightarrow{r}}^{\prime })\frac{\exp (\pm ik|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }|)}{4\pi |\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }|}$

Поврзано

Лапласова равенка

Литература

• Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.
• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0.
• Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-043316-X
• Хелмхолцови равенки

Надворешни врски

• Helmholtz Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Предлошка:Springer
• Vibrating Circular Membrane by Sam Blake, The Wolfram Demonstrations Project.
• Green's functions for the wave, Helmholtz and Poisson equations in a two-dimensional boundless domain