Хиперсфера

Хиперсфера во Евклидов простор со димензија 3, е сфера во вообичаена смисла.

Хиперсфера или n-сфера – во геометријата генерализација на сфера во Евклидов простор од која било димензија. Еден од наједноставните примери е сфера од n-та димензија или n-сфера, поточно хиперплоштина на Евклидов простор ${ℝ}^{n+1}$, со општа ознака ${𝕊}^n$.

Дефиниција

Нека E е Евклидов простор со димензија n + 1, A точка во E, и R реален број строго позитивен. Множеството точки M чие растојание до A е R се нарекува хиперсфера со центар A и полупречник R.

Со дадени афини репери, можно е со транслација, со што воопшто не се менуваат геометриските својства, хиперсферата да се центрира во почетокот, чија равенка ќе биде:

$\sum _{i=1}^{n+1}{x}_i^2=R^2$.

На пример :

• за n = 0, хиперсферата се состои од две точки на апсцисата R и –R ;
• за n = 1, хиперсферата е круг ;
• за n = 2, хиперсферата е сфера во вообичаена смисла.

Својства

Зафатнина

За зафатнина на просторот определен со хиперсфера со димензија n – 1 и полупречник R, што е Евклидова топка од n-та димензија, важи :

$V_n=\frac{{\pi }^{n/2}{R}^n}{\mathrm{\Gamma }(n/2+1)}$,

каде $\mathrm{\Gamma }$ е гама-функција. Конкретно :

	n парни	n непарни
$V_n$	$\frac{{\pi }^{\frac{n}{2}}{R}^n}{\left(\frac{n}{2}\right)!}$	$2^{(n+1)/2}\frac{{\pi }^{\frac{n-1}{2}}{R}^n}{1\cdot 3\cdot \dots \cdot n}$

Во следната табела се дадени вредностите за зафатнина на првите 8 топки со димензија n и полупречник 1:

n	Зафатнина
	точна	приближна
1	$2$	$2$
2	$\pi$	$3,14159$
3	$\frac{4}{3}\pi$	$4,18879$
4	$\frac{1}{2}{\pi }^2$	$4,93480$
5	$\frac{8}{15}{\pi }^2$	$5,26379$
6	$\frac{1}{6}{\pi }^3$	$5,16771$
7	$\frac{16}{105}{\pi }^3$	$4,72478$
8	$\frac{1}{24}{\pi }^4$	$4,05871$

Зафатнината на една таква топка е максимална за n = 5. За n > 5, зафатнината опаѓа кога n расте и нејзината гранична вредност во бесконечност е нула:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{V}_n=0$.

Хиперкоцка опишана околу единична хиперсфера има рабови со должина 2 и зафатнина 2ⁿ. Односот меѓу зафатнините на топка и впишана хиперкоцка е опѓачка во функција од n.

Плоштина

Плоштината на хиперсфера со димензија n-1 и полупречник R може да се определи вадејќи извод во однос на полупречникот R од зафатнината V_n :

$S_{n-1}=\frac{d{V}_n}{dR}=\frac{n{V}_n}{R}=\frac{2{\pi }^{n/2}{R}^{n-1}}{\mathrm{\Gamma }(n/2)}$.

$S_n=\frac{2{\pi }^{(n+1)/2}{R}^n}{\mathrm{\Gamma }((n+1)/2)}$.

	n парен	n непарен
$S_n$	$2^{(n/2)+1}\frac{{\pi }^{\frac{n}{2}}{R}^n}{1\cdot 3\cdot \dots \cdot (n-1)}$	$\frac{{\pi }^{\frac{n+1}{2}}{R}^n}{\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{n-1}{2}\right)!}$

Значи плоштината на единичната n-сфера ${𝕊}^n$ е:

$\frac{2{\pi }^{(n+1)/2}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n+1}{2})}.$

Следната табела ги дава вредностите за плоштина на првите 7 n-сфери со полупречник 1:

n	Плоштина на ${𝕊}^n$
	точна	приближна
1	$2\pi$	$6,28318$
2	$4\pi$	$12,56637$
3	$2{\pi }^2$	$19,73920$
4	$\frac{8}{3}{\pi }^2$	$26,31894$
5	${\pi }^3$	$31,00627$
6	$\frac{16}{15}{\pi }^3$	$33,07336$
7	$\frac{1}{3}{\pi }^4$	$32,46969$

Плоштината на единична n-сфера е максимална за n = 6. За n > 6, плоштината опаѓа кога n расте и нејзината гранична вредност во бесконечност е нула :

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=0$.

Поврзано

• Хиперпирамида
• 3-сфера
• Хиперкоцка