Чебишово неравенство

Чебишово неравенство се изучува во теоријата на веројатност. Оваа теорема на рускиот математичар Пафнутиј Чебишов покажува дека веројатноста една случајна променлива $X$ со средна вредност $\eta$ и варијанса ${\sigma }^2$ да биде надвор од произволен интервал $(\eta -ϵ,\eta +ϵ)$ е произволно мала ако односот $\sigma /ϵ$ е доволно мал.

Теорема

Нека $X$ e случајна променлива со средна вредност $\eta$ и варијанса ${\sigma }^2$. Тогаш за секое $ϵ>0$ важи неравенството:

$P\{|X-\eta |\ge ϵ\}\le \frac{{\sigma }^2}{{ϵ}^2}$

Доказ

Нека со $f(x)$ ја означиме функцијата на густина на веројатност на случајната променлива $X$. Тогаш доказот на теоремата се заснова на следниот факт:

$P\{|X-\eta |\ge ϵ\}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{-\eta -ϵ}{\int }}f(x)dx+\underset{\eta +ϵ}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{|x-\eta |\ge ϵ}{\int }f(x)dx$

Навистина,

${\sigma }^2=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(x-\eta {)}^{2}f(x)dx\ge \underset{|x-\eta |\ge ϵ}{\int }(x-\eta {)}^{2}f(x)dx\ge {ϵ}^2\underset{|x-\eta |\ge ϵ}{\int }f(x)dx$

од што следува неравенството со оглед на тоа што последниот интеграл е еднаков на $P\{|X-\eta |\ge ϵ\}$.

Поврзано

• Пафнутиј Чебишов
• Неравенство на Марков
• Бјенемеово неравенство
• Љапуново неравенство

Литература

• A. Papoulis, S. Unnikrishna Pillai, "Probability, Random Variables and Stochastic Processes", Fourth edition, McGraw-Hill, 2002.