Инверзна функција

Функцијата ƒ и нејзината инверзна ƒ^–1. Како ƒ ја пресликува a во 3, инверзната функција ƒ^–1 го пресликува 3 назад во a.

Во математиката, ако функцијата ƒ пресликува множество A во множество B, тогаш нејзината инверзна функција ƒ⁻¹ е таква да го пресликува множеството B во множеството A и тоа така што сложената функција $f\circ f^1$ го пресликува секој елемент од множеството A во самиот себе. Не секоја функција има своја инверзна, онаа која има се вика инверзибилна.

На пр., ако е дадена функцијата ƒ таква што ја дава должината во милји ако е дадена должината во метри (ƒ(x) = 1,6 • x), тогаш нејзината инверзна функција g = ƒ⁻¹ ја дава должината во метри ако е позната должината во милји (g(x) = x / 1,6).

Инверзибилност

1. Бидејќи функцијата мора да го пресликува оригиналот само во една слика, функција која не е инјективна не може да има инверзна.
2. Од друга страна, ако опсегот на функцијата не е идентичен на нејзиниот кодомен, тогаш за некои елементи на множеството слики нема да биде дефинирано пресликувањето ƒ⁻¹.

Затоа може да се рече дека функцијата е инверзибилна акко е бијекција.

• 
  Сурјективно но неинјективно пресликување
• 
  Инјективно но несурјективно пресликување
• 
  Бијекција

На пр. функцијата $f(x)=x^2:ℝ\to ℝ$ не е ни инјективна (бидејќи позитивните и негативните броеви имаат иста слика), ни сурјективна (бидејќи е ранг ${ℝ}^{+}$, а не цел кодомен $ℝ$). Истата функција, но дефинирана како ${ℝ}^{+}\to {ℝ}^{+}$ има инверзна функција $\sqrt{x}$. Функцијата $f(x)=x^3$ има инверзна, а $f(x)=x^3-x$ нема бидејќи не е инјективна ($f(0)=f(1)=0$).

Особини

Симетрија

Нека id е функција на идентитетот id_X = x. Тогаш важи

$\begin{array}{c}f\circ f^{-1}=i{d}_X\\ f^{-1}\circ f=i{d}_Y\end{array}$

односно $(f^{-1}{)}^{-1}=f$.

Инверзна функција на сложена функција

При инверзија на композиција од функции, основните функции го менуваат редоследот:

$(f\circ g{)}^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$

Автоинверзија

Функција на идентитет е инверзна сама на себе:

$i{d}_X^{-1}=i{d}_X$

Графичко претставување

Функција и нејзината инверзна функција се симетрични во однос на правата $y=x$.

Извод на инверзна функција

Ако почетната функција е диференцијабилна, тогаш за сите точки во кои $f(x)\ne 0$ важи следната формула за извод на инверзна функција:

$\frac{d}{dy}[f^{-1}(y)]=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(y))}.$

Обележување

Важно е да се воочи дека ⁻¹ во означувањето на инверзна функција не е ознака за експонент. Всушност $\frac{1}{f(x)}$ се запишува како ƒ(x)⁻¹.

Во инфинитезималното сметање ознаката ƒ⁽ⁿ⁾ означува n-ти извод на функцијата:

$f^{(n)}(x)=\frac{d^n}{d{x}^n}f(x).$

Во тригонометријата, од историски причини, ${\sin }^{2}x=(\sin x{)}^2$ а не $\sin (\sin x)$, но е ${\sin }^{-1}x=\arcsin x$, а не $\frac{1}{\sin x}$. Токму за да избегне оваа непрецизност, за инверзни тригонометриски функции се користи ознаката arc, а за реципрочни потполно други имиња ($\frac{1}{\sin x}=\csc x$).

Литература

• Предлошка:Citation
• Предлошка:Citation

Поврзано

• Теорија на множества
• Функција
• Список на инверзни функции
• Инјективна функција
• Сурјективна функција
• Бијективна функција