Инјективна функција

Инјекција. Максимум една стрелка до секој елемент во кодоменот B (од елемент од доменот А).

Во математиката, инјективна функција е функција f : A → B ако различни елементи од A се пресликуваат во различни елементи од B, односно за секој елемент b од кодоменот B постои најмногу еден елемент a од доменот А таков што f(a)=b.

Терминот инјективност и сродните термини сирјективност и бијективност беа воведени од страна на Никола Бурбаки (Nicholas Bourbaki) (и група други, главно француски математичари од 20 век) кој почнувајќи од 1935 година напиша серија книги за презентирање на модерната напредна математика.

Не е инјекција. Постои елемент во кодоменот В со две стрелки од (различни) елементи од доменот А.

Основни својства

Формално имаме:

$f:A\to B$  е инјективна функција ако  $\mathrm{\forall }{a}_1,a_2,\in A,a_1\ne a_2\Rightarrow f(a_1)\ne f(a_2)$  или еквивалентно

$f:A\to B$  е инјективна функција ако  $\mathrm{\forall }{a}_1,a_2,\in A,f(a_1)=f(a_2)\Rightarrow a_1=a_2$

Елементот $a$ се вика претслика на елементот $b$. Претслика на секој елемент во кодоменот на една инјекција не мора да постои. Во првата слика, елементот {4} нема претслика. Baжно е да има максимум една претслика. (Види и: Сурјективна функција, Бијективна функција)

• Една од најважните особини на инјективните функции е тоа дека инверзна релација на инјективна функција е функција, т.н. инверзна функција. Инверзни функции како што е квадратен корен, логаритамска функција, ... имаат многу голема улога во математиката.

Кардиналност

Кардиналноста на едно множество е мерка на бројот на елементите во множеството. На пример, ако A={X,Y,Z,W}, тогаш кардиналноста на А е 4 и пишуваме #A=4.

• Ако кардиналноста на кодоменот е помала од кардиналноста на доменот, функцијата не е инјекција. (Едноставно кажано, нема начин да се пресликаат 6 елементи во 5 елементи без дупликат.)

Примери

Елементарни функции

Нека f(x):ℝ→ℝ е реална функција y од реален аргумент x. (Значи влез и излез се броеви.)

• Графичко толкување: функцијата f е инјективна ако секоја хоризонтала права го пресекува графиконот на f во најмногу една точка (една или ниедна).
• Алгебарско толкување: функцијата f е инјективна ако f(x_o)=f(x₁) значи x_o=x₁.

Пример: Линеарната функција на која било коса права е инјективна, односно y=ax+b каде што a≠0 е инјекција (и сурјекција, така што е бијекција). (Види линеарна функција.)

Доказ: Нека x_o и x₁ се реални броеви. Претпоставиме дека се пресликуваат во истиот број, т.е. a·x_o+b=a·x₁+b. Следува a·x_o=a·x₁. Бидејќи a≠0, следува x_o=x₁. Значи кои било два броеви кои се пресликуваат во истиот број се исти. Докажано е дека функцијата y=ax+b каде што a≠0 е инјективна.

Пример: Кубната полиномна функција Предлошка:Nowrap beginf(x)=x³Предлошка:Nowrap end е инјективна. Меѓутоа, кубната полиномна функција Предлошка:Nowrap beginf(x)=x³ –3xПредлошка:Nowrap end не е инјективна.

Дискусија 1: Која било хоризонтална права го пресекува графиконот на Предлошка:Nowrap beginf(x)=x³Предлошка:Nowrap end точно еднаш. (Оваа функција е и сурјективна.)

Дискусија 2: На пример, y_o=2 има две предслики: x=–1 и x=2 , а всушност за секој y, –2≤y≤2 функцијата Предлошка:Nowrap beginf(x)=x³ –3xПредлошка:Nowrap end има повеќе од една претслика, т.е. повеќе од еден x таков што f(x)=y.)

Пример: Квадратната функција Предлошка:Nowrap beginf(x) = x²Предлошка:Nowrap end не е инјективна. Двата броеви x=2 и x=-2 се пресликуваат во {4} со што е докажано дека оваа функција не е инјективна. (Оваа функција не е ниту сурјективна.)

Забелешка: Со ограничување на доменот, честопати можеме да дефинираме нова функција која е инјективна. На пример, со ограничување на доменот на квадратната функција имаме „нова“ функција, Предлошка:Nowrap beginf_/[0,+∞)(x):[0,+∞) → ℝПредлошка:Nowrap end каде што Предлошка:Nowrap beginf_/[0,+∞)(x) = x²Предлошка:Nowrap end која сега е инјективна функција. Оваа функција се вика рестрикцијата на f до [0,+∞).

Пример: Експоненцијалната функција Предлошка:Nowrap beginf(x) = 10^xПредлошка:Nowrap end е инјективна. (Оваа функција не е сурјективна.) Дискусија: Која било хоризонтална права над х-оската го пресекува графиконот на 10^x точно еднаш, а останатите хоризонтални прави не го сечат графиконот ниту еднаш.

Забелешка: Инјективноста на експоненцијална функција може да се користи на следниот начин:

$a^{x_0}=a^{x_1}\Rightarrow x_0=x_1,a>0$  односно

Пример:  $100=10^{x-3}\Rightarrow 2=x-3\Rightarrow x=5$ 

Инјекција. f(x):ℝ→ℝ (и сурјекција)	Инјекција. f(x):ℝ→ℝ (и сурјекција)	Не е инјекција. f(x):ℝ→ℝ (е сурјекција)
Не е инјекција. f(x):ℝ→ℝ (не е сурјекција)	Инјекција. f(x):ℝ→ℝ (не е сурјекција)	Инјекција. f(x):(0,+∞)→ℝ (и сурјекција)

Други примери со реални функции

Пример: Инверзната функција на 10^x, односно логаритамската функција со основа 10, f(x):(0,+∞)→ℝ дефиниранa со f(x)=log(x) односно y=log(x) е инјективна (и сурјективна).

• Доколку двете множества A и B имаат повеќе од еден елемент, проекцијата на Декартов производ Предлошка:Nowrap на еден од неговите фактори никогаш не е инјективна функција.

Дискусија: Кардиналноста на Предлошка:Nowrap е поголема од кардиналноста на A или B.

Поврзано

• Функција
• Сурјективна функција
• Бијективна функција

Надворешни врски

• Предлошка:Наведена мрежна страница интерактивен квиз
• Предлошка:Наведена мрежна страница интерактивно