Марково неравенство

Предлошка:Без извори Марково неравенство се изучува во теоријата на веројатност. Ова неравенство ја дава горната граница на веројатноста дека една ненегативна случајна променлива е поголема или еднаква на дадена позитивна константа.

Теорема

Нека $X$ е случајна променлива со веројатносна густина $f(x)$, таква што $f(x)=0$ за $x\le 0$. Тогаш за произволен позитивен реален број $\alpha >0$ важи неравенството:

$P\{X\ge \alpha \}\le \frac{\eta }{\alpha }$

каде $\eta$ е средната вредност на случајната променлива $X$.

Доказ

Доказот следи од:

$\eta =E\{X\}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xf(x)dx\ge \underset{\alpha }{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xf(x)dx\ge \alpha \underset{\alpha }{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$

земајќи дека последниот интеграл е еднаков на веројатноста $P\{X\ge \alpha \}$.

Наводи

• A. Papoulis, S. Unnikrishna Pillai, "Probability, Random Variables and Stochastic Processes", Fourth edition, McGraw-Hill, 2002

Поврзано

• Андреј Марков
• Чебишово неравенство
• Бјенемеово неравенство
• Љапуново неравенство