Таблични интеграли

Интегрирањето е една од двете основни операции во математичката анализа. Некои класи интеграли се решаваат шаблонски, според формулите или правилата кои опишуваат како се решава интеграл ако сме во состојба да препознаеме конкретен интеграл меѓу следните примери. На оваа страна се наоѓаат некои основни неодредени интеграли.

Правила за интегрирање општи функции

Хомогеност:

$\int cf(x)dx=c\int f(x)dx$

Адитивност:

$\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$

Парцијална интеграција:

$\int f(x)g(x)dx=f(x)\int g(x)dx-\int (d[f(x)]\int g(x)dx)$

Интеграли на едноставни функции

Рационални функции

Повеќе интеграли на: Список на интеграли на рационални функции

$\int dx=x+C$

$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\text{ if }n\ne -1$

$\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C$

$\int \frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{x}{a}+C$

Логаритамски функции

Повеќе интеграли на: Список на интеграли на логаритамски функции

$\int \ln xdx=x\ln x-x+C$

$\int {\log }_{b}xdx=x{\log }_{b}x-x{\log }_{b}e+C$

Експоненцијални функции

Повеќе интеграли на: Список на интеграли на експоненцијални функции

$\int e^{x}dx=e^x+C$

$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$

Ирационални функции

Повеќе интеграли на: Список на интеграли на ирационални функции

$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin \frac{x}{a}+C$

$\int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}dx=\text{arcsec}x+C$

Тригонометриски функции

Повеќе интеграли на: Список на интеграли на тригонометриски функции

$\int \cos xdx=\sin x+C$

$\int \sin xdx=-\cos x+C$

$\int \mathrm{tg}xdx=-\ln |\cos x|+C_1=\ln |\sec x|+C_2$

$\int \csc xdx=\ln |\csc x-\cot x|+C$

$\int \sec xdx=\ln |\sec x+\mathrm{tg}x|+C$

$\int \cot xdx=\ln |\sin x|+C$

---

$\int {\sec }^{2}xdx=\mathrm{tg}x+C$

$\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C$

$\int {\sin }^{2}xdx=\frac{1}{2}(x-\sin x\cos x)+C$

$\int {\cos }^{2}xdx=\frac{1}{2}(x+\sin x\cos x)+C$

---

$\int \csc x\cot xdx=-\csc x+C$

$\int \mathrm{arctg}xdx=x\mathrm{arctg}x-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C$

Хиперболични функции

Повеќе интеграли на: Список на интеграли на хиперболични функции

$\int \sinh xdx=\cosh x+C$

$\int \cosh xdx=\sinh x+C$

$\int \mathrm{tgh}xdx=\ln (\cosh x)+C$

$\int \text{csch}xdx=\ln |\mathrm{tgh}\frac{x}{2}|+C$

$\int \text{sech}xdx=\mathrm{arctg}(\sinh x)+C$

$\int \coth xdx=\ln |\sinh x|+C$

Несвојствени (неправи) интеграли

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sqrt{x}{e}^{-x}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\pi }$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\pi }$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^2}{6}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^3}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^4}{15}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (x)}{x}dx=\frac{\pi }{2}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{z-1}{e}^{-x}dx=\mathrm{\Gamma }(z)$

Литература

• Milton Abramowitz and Irene Stegun, editors. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.
• I.S. Gradshteyn (И. С. Градштейн), I.M. Ryzhik (И. М. Рыжик); Alan Jeffrey, Daniel Zwillinger, editors. Table of Integrals, Series, and Products, seventh edition. Academic Press. 2007. ISBN 978-0-12-373637-6. Errata. (Several previous editions as well.)
• A.P. Prudnikov (А. П. Прудников), Yu.A. Brychkov (Ю. А. Брычков), O.I. Marichev (О. И. Маричев). Integrals and Series. First edition (Russian), volume 1–5, Nauka, 1981−1986. First edition (English, translated from the Russian by N.M. Queen), volume 1–5, Gordon & Breach Science Publishers/CRC Press. 1988–1992. ISBN 978-2-88124-097-3. Second revised edition (Russian), volume 1–3, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2003.
• Yu.A. Brychkov (Ю. А. Брычков). Handbook of Special Functions: Derivatives, Integrals, Series and Other Formulas. Russian edition, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2006. English edition, Chapman & Hall/CRC Press. 2008. ISBN 978-1-58488-956-4.
• Daniel Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 31st edition. Chapman & Hall/CRC Press. 2002. ISBN 978-1-58488-291-6. (Many earlier editions as well.)
• Meyer Hirsch, Integral Tables, Or, A Collection of Integral Formulae (Baynes and son, London, 1823) [English translation of Integraltafeln]
• Benjamin O. Pierce A short table of integrals - revised edition (Ginn & co., Boston, 1899)