Интегрирање со смена на променливата

Предлошка:Без извори Предлошка:Анализа Интегрирање со смена на променливата, во математиката т.е. интегралното сметање еден од основните методи за решавање на интеграли. Ова правило допушта, т.е. ги дава потребните услови под кои, слично како кај лимес на функција, може да се изврши смена на променливата во определен интеграл. Заедно со методот на интегрирање по делови, овој метод е едно од двете најнужни тврдења кои треба да се познаваат при решавањето на интегралите.

Формална дефиниција

Нека $A\subseteq ℝ$ е интервал и нека е дефинирана непрекината функција: $f:A\to ℝ$ и нека $\varphi :[a,b]\to A$ е непрекинато-диференцијабилна функција на интервалот $[a,b]$. Тогаш важи следново равенство:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(\varphi (t)){\varphi }^{\prime }(t)dt=\underset{\varphi (a)}{\overset{\varphi (b)}{\int }}f(x)dx$

Ќе го докажеме тврдењето:

Нека се исполнети условите и нека $F(x)$ е примитивна за $f(x)$ на $A$, т.е. $F^{\prime }(x)=f(x),x\in A$. Тогаш пак функцијата $F(\varphi (x))$ е примитивна за $f(\varphi (x)){\varphi }^{\prime }(x)$ бидејќи

${[F(\varphi (x))]}^{\prime }=F^{\prime }(\varphi (x)){\varphi }^{\prime }(x)=f(\varphi (x)){\varphi }^{\prime }(x)$

Тогаш според формилата на Њутн-Лајбниц имаме:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(\varphi (x)){\varphi }^{\prime }(x)dx=F(\varphi (x)){|}_a^b=F(x){|}_{\varphi (a)}^{\varphi (b)}=\underset{\varphi (a)}{\overset{\varphi (b)}{\int }}f(x)dx$

Пример

• Да се пресмета интегралот: $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{\ln x}{x}dx$

Ќе ја воведеме смената: $t=\ln x$. Следствено имаме: $dt=\frac{1}{x}dx$ и за смената на границите: $x=1\Rightarrow t=\ln 1$ и $x=2\Rightarrow t=\ln 2$

Сега „настапува“ смената. Еве што всушност правиме:

Податотека:Smena na promenliva.png

односно добиваме:

$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{\ln x}{x}dx=\underset{\ln 1}{\overset{\ln 2}{\int }}tdt=\frac{t^2}{2}{|}_{\ln 1}^{\ln 2}=\frac{1}{2}({\ln }^{2}2-{\ln }^{2}1)=\frac{{\ln }^{2}2}{2}$

Поврзано

• Интегрално сметање
• Интегрирање по делови
• Интегрално сметање на функции од повеќе променливи