Бернулиева распределба

Бернулиева распределба во теоријата на веројатноста и статистиката — прекинатата веројатносна распределба на една случајна променлива која ја има вредноста 1 со веројатност $p$ и вредноста 0 со веројатност $q=1-p$. Понеформално, таа е модел за множество можни исходи од секој можен опит опит кој поставува прашање „да–не“. Ваквите прашања водат до исходи со една од две вредности: „успех“ (1) со веројатност p и „неуспех“ (0) со веројатност q. Со оваа распределба може да се претстави фрлање паричка каде 1 и 0 би биле „глава“ и „писмо“, а p би била веројатноста да се падне глава (или обратно, каде 1 е писмо, а p ќе биде веројатноста за писмо). Нечесните парички би имале $p\ne 1/2.$

Наречена е по швајцараскиот математичар Јакоб Бернули и претставува посебен случај на биномната распределба со еден спроведен опит (така што n би бил 1 за таква биномна распределба). Воедно таа претставува посебен случај на двоточкестата распределба, чии можни исходи не мора да бидат 0 и 1.

Својства

Ако $X$ е случајна променлива со оваа распределба, тогаш:

$\mathrm{Pr}(X=1)=p=1-\mathrm{Pr}(X=0)=1-q.$

Веројатносната фунција $f$ на оваа распределба низ можните исходи k е

$f(k;p)=\{\begin{array}{cc}p& \text{ако }k=1,\\ q=1-p& \text{ако }k=0.\end{array}$

Ова може да се изрази и како

$f(k;p)=p^k(1-p{)}^{1-k}\text{за }k\in \{0,1\}$

или како

$f(k;p)=pk+(1-p)(1-k)\text{за }k\in \{0,1\}.$

Бернулиевата распределба е посебен случај на биномната распределба со $n=1.$

Зашиленоста оди до бесконечност за високи и ниски вредности на $p,$ но за $p=1/2$ двоточкестите распределби (вкл. Бернулиевата) имаат помалку вишок зашиленост отколку било која друга веројатносна распределба, имено −2.

Бернулиевите распределби за $0\le p\le 1$ сочинуваат експоненцијално семејство.

Процената на максимална веројатност на $p$ според случаен примерок е примерочната средина.

Средина

Очекуваната вредност на една Бернулиева случајна променлива $X$ е

$\mathrm{E}[X]=p$

Ова се должи на тоа што, за Бернулиево распределена случајна променлива $X$ со $\mathrm{Pr}(X=1)=p$ и $\mathrm{Pr}(X=0)=q$ имаме

$\mathrm{E}[X]=\mathrm{Pr}(X=1)\cdot 1+\mathrm{Pr}(X=0)\cdot 0=p\cdot 1+q\cdot 0=p.$

Веријанса

Варијансата на Бернулиево распределен $X$ е

$\mathrm{Var}[X]=pq=p(1-p)$

Прво имаме

$\mathrm{E}[X^2]=\mathrm{Pr}(X=1)\cdot 1^2+\mathrm{Pr}(X=0)\cdot 0^2=p\cdot 1^2+q\cdot 0^2=p=\mathrm{E}[X]$

Од ова следи

$\mathrm{Var}[X]=\mathrm{E}[X^2]-\mathrm{E}[X{]}^2=\mathrm{E}[X]-\mathrm{E}[X{]}^2=p-p^2=p(1-p)=pq$

Од овој резултат лесно е да се докаже дека, за секоја Бернулиева распределба, нејзината варијанса ќе има вредност во рамките на $[0,1/4]$.

Накосеност

Накосеноста (коефициентот на асиметрија) е $\frac{q-p}{\sqrt{pq}}=\frac{1-2p}{\sqrt{pq}}$. Кога ја ќе земеме стандардизираната Бернулиево распределена случајна променлива $\frac{X-\mathrm{E}[X]}{\sqrt{\mathrm{Var}[X]}}$ излегува дека оваа случајна променлива добива $\frac{q}{\sqrt{pq}}$ со веројатност $p$ и добива $-\frac{p}{\sqrt{pq}}$ со веројатност $q$. Така добиваме

$\begin{array}{cc}{\gamma }_1& =\mathrm{E}\left[{\left(\frac{X-\mathrm{E}[X]}{\sqrt{\mathrm{Var}[X]}}\right)}^3\right]\\ & =p\cdot {\left(\frac{q}{\sqrt{pq}}\right)}^3+q\cdot {(-\frac{p}{\sqrt{pq}})}^3\\ & =\frac{1}{{\sqrt{pq}}^3}(p{q}^3-q{p}^3)\\ & =\frac{pq}{{\sqrt{pq}}^3}(q-p)\\ & =\frac{q-p}{\sqrt{pq}}.\end{array}$

Виши моменти и кумуланти

Сите сирови моменти се еднакви поради тоа што $1^k=1$ и $0^k=0$.

$\mathrm{E}[X^k]=\mathrm{Pr}(X=1)\cdot 1^k+\mathrm{Pr}(X=0)\cdot 0^k=p\cdot 1+q\cdot 0=p=\mathrm{E}[X].$

Централниот момент со степен $k$ се добива со

${\mu }_k=(1-p)(-p{)}^k+p(1-p{)}^k.$

Првите шест централни моменти се

$\begin{array}{cc}{\mu }_1& =0,\\ {\mu }_2& =p(1-p),\\ {\mu }_3& =p(1-p)(1-2p),\\ {\mu }_4& =p(1-p)(1-3p(1-p)),\\ {\mu }_5& =p(1-p)(1-2p)(1-2p(1-p)),\\ {\mu }_6& =p(1-p)(1-5p(1-p)(1-p(1-p))).\end{array}$

Вишите централни моменти може да се изразат покомпактно како ${\mu }_2$ и ${\mu }_3$

$\begin{array}{cc}{\mu }_4& ={\mu }_2(1-3{\mu }_2),\\ {\mu }_5& ={\mu }_3(1-2{\mu }_2),\\ {\mu }_6& ={\mu }_2(1-5{\mu }_2(1-{\mu }_2)).\end{array}$

Првите шест кумуланти се

$\begin{array}{cc}{\kappa }_1& =p,\\ {\kappa }_2& ={\mu }_2,\\ {\kappa }_3& ={\mu }_3,\\ {\kappa }_4& ={\mu }_2(1-6{\mu }_2),\\ {\kappa }_5& ={\mu }_3(1-12{\mu }_2),\\ {\kappa }_6& ={\mu }_2(1-30{\mu }_2(1-4{\mu }_2)).\end{array}$

Поврзани распределби

• Ако $X_1,\dots ,X_n$ се независни еднакво распределени случајни променливи, сите Бернулиеви опити со веројатност за успех p, тогаш нивното множество е распределено според биномна распределба со параметри n и p:

  $\sum _{k=1}^n{X}_k\sim \mathrm{B}(n,p)$ (биномна распределба).

Бернулиевата распределба едноставно е $\mathrm{B}(1,p)$, и се запишува и како $\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{i}(p).$

• Категоричната распределба е воопштувањето на Бернулиевата распределба за променливи со било кој постојан број на прекинати вредности.
• Бета-распределбата е сврзувачкиот претходник of Бернулиевата распределба.
• Геометриската распределба го моделира бројот на независни и еднакви Бернулиеви опити потребни за да се добие еден успех.
• Ако $Y\sim \mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{i}\left(\frac{1}{2}\right)$, тогаш $2Y-1$ има Радемахерова распределба.

Поврзано

• Бернулиев опит
• Бернулиев процес

Надворешни врски

• Предлошка:Springer.
• Предлошка:MathWorld
• Интерактивна графика за односите на еднопроменливата распределба.