Бернулиев опит

Во веројатностa и во статистиката, Бернулиев опит B(1,p), p∈(0,1) е случаен опит кој има точно два можни исходи.

• Обичајно е да едниот исход се „именува“ успех, а другиот неуспех (не мора да се согласува со реалното значење на исходите).
• Соодветно на тоа, случајната променлива на Бернулиев опит е Х={0,1} каде што

Х(успех)=1

Х(неуспех)=0

Нека веројатноста на успех е p на еден Бернулиев опит. Тогаш веројатноста на неуспех е q=1-p. Следува дека

$Pr(X=1)=p$.

$Pr(X=0)=1-p$

Одлики на Бернулиев опит B(1,p)

• Бернулиев опит е потполно определен со веројатноста на успехот, односно со број p, 0<p<1.
• Бернулиев опит е дискретна распределба со дискретната случајна променлива со 2 елементи: X={0,1}.
• Pr(X=k) е веројатноста на k успеси во 1 повторувањe на опитот, k∈X. (Види Биномна распределба, Геометриска распределба)

Распределби на Бернулиев опит

• Бернулиев опит ја има дискретната случајна променлива: X={0,1}.

Закон на распределба - PDF на B(1,p)

PDF на B(1,p)
X=x	0	1
Pr(X=x)=f(x)	1-p	p

Кумулативна распределба - CDF на B(1,p)

CDF на B(1,p)
x∈	(-∞,0)	[0,1)	[1,∞)
Pr(X<x)=F(x)	0	1-p	1

Други одлики на Бернулиев опит

• Бидејќи секој Бернулиев опит има точно два можни исходи, опитот секогаш може да се преформулира како прашање со можни одговори да или не.
• Експеримент каде што Бернулиев опит со веројатноста р се повторува точно n пати се вика Биномен експеримент и се означува со B(n,p), n&isin ℕ. Треба да се прави разлика помеѓу еден Бернулиев опит со веројатност р на успех со безброј биномните експерименти заснован на тој опит (секој со свој број n). (Види Биномен експеримент)

Мерки на Бернулиев опит

• Очекувана вредност E(x) = Аритметичка средина μ

$E(x)=\mu =\sum _{j=1}^2{x}_j\cdot p_j=0(1-p)+1\cdot p=p$

• Расејување σ²

${\sigma }^2=\sum _{j=1}^2{(x_j-\mu )}^2\cdot p_j={(0-p)}^2(1-p)+{(1-p)}^2\cdot p=p(1-p)$

Примери

Пример 1: Еден стрелец има 65% шанса за погодок при секое гаѓање. Каков е соодветниот Бернулиев опит?

Претпоставиме дека погодок е „успех“. Тогаш p=65%=0.65.

PDF на B(1,0.65)	CDF на B(1,0.65)
X=x 0 1 Pr(X=x)=f(x) 0.35 0.65	x∈ (-∞,0) [0,1) [1,∞) Pr(X<x)=F(x) 0 0.35 1
$f(x)=\{\begin{array}{cc}0.35& x=0\\ 0.65& x=1\end{array}$	$F(x)=\{\begin{array}{cc}0& x<0\\ 0.35& 0\le x<1\\ 1& x\ge 1\end{array}$

Очекуваната вредност:	E(x)=μ=0.65
Расејувањето е:	σ2=0.65 ·0.35=0.2275
Стандардното отстапување е:	σ ≈ 0.4770

Пример 2: Опитот е: Фрлање на коцка и пишување П за победа ако бројот на горната страна е 4-ка, а Г за губиток (пораз) за сите други исходи. Каков е соодветниот Бернулиев опит?

Претпоставиме дека победа е „успех“. Тогаш p=⅙≈0.167 (види ги примерите кај случајна променлива).

PDF на B(1,0.65) X=x 0 1 Pr(X=x)=f(x) 0.833 0.167

CDF на B(1,0.65) x∈ (-∞,0) [0,1) [1,∞) Pr(X<x)=F(x) 0 0.833 1

Поврзано

• Бернулиева распределба
• Опит (теорија на веројатноста)
• Биномна распределба
• Дискретна случајна променлива
• Веројатност

Наводи

Надворешни врски

• Предлошка:Наведена мрежна страница интерактивен
• Предлошка:Наведена мрежна страница
• Предлошка:Наведена мрежна страница
• Предлошка:Наведена мрежна страница со алгоритми за генерирање на случајни податоци