Виетови формули

Виетови формули — формули во математиката односно алгебрата, именувани според Франсоа Виет, кои ја даваат врската помеѓу нулите на полиномот и неговите коефициенти.

Формули

Ако

$P(X)=a_n{X}^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_0$

е полином од степен $n\ge 1$ со комплексни коефициенти (па броевите $a_0,a_1,\dots ,a_{n-1},a_n$ се комплексни, и $a_n\ne 0$ ), според основната теорема на аритметиката $P(X)$ има $n$ (не задолжително различни) комплексни корени $x_1,x_2,\dots ,x_n.$ Виетовите формули велат дека

$(x_1{x}_2+x_1{x}_3+\cdots +x_1{x}_n)+(x_2{x}_3+x_2{x}_4+\cdots +x_2{x}_n)+\cdots +x_{n-1}{x}_n=\frac{a_{n-2}}{a_n}$

$\cdots$

$x_1{x}_2\cdots x_n=(-1{)}^n\frac{a_0}{a_n}.$

$\sum _{1\le i_1<i_2<\cdots <i_k\le n}{x}_{i_1}{x}_{i_2}\cdots x_{i_k}=(-1{)}^k\frac{a_{n-k}}{a_n}$

Со други зборови, збирот на сите можни производи $k$ на нулите на полиномот $P(X)$ е еднаков $(-1{)}^k{a}_{n-k}/a_n,$

$a_n{X}^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_0=a_n(X-x_1)(X-x_2)\cdots (X-x_n)$

за секое $k=1,2,\dots ,n.$

Виетовите формули важат поопшто за полиноми со коефициенти во кој било комутативен прстен, сѐ додека тој полином од $n$-ти степен има $n$ нули во тој прстен.

Пример

За полином од втор степен $P(X)=a{X}^2+bX+c$, Виетовите формули гласат дека решенијата $x_1$ и $x_2$ се квадратна равенка $P(X)=0$ задоволуваат:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1{x}_2=\frac{c}{a}.$

Првата равенка може да се користи за да се најде минимумот (или максимумот).

Доказ

Виетовите формули може да се докажат со запишување на еднаквоста

$a_n{X}^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_0=a_n(X-x_1)(X-x_2)\cdots (X-x_n)$

(што е точно затоа што $x_1,x_2,\dots ,x_n$ се сите нули на полиномот), со множење преку факторите од десната страна и наоѓање на коефициентите на секој степен $X$.

Литература

• Предлошка:Наведена книга
• Предлошка:Наведена книга