Квадратен корен

Математички израз на квадратен корен од x.

На пример, Предлошка:Math, бидејќи Предлошка:Math, или Предлошка:Math (5 на квадрат).

Квадратен корен – унарна математичка операција инверзна на степенување на квадрат. Ознаката на оваа операција над некој број a е $\sqrt{a}$, и се чита се како „корен од a“. Квадратен корен од бројот a е број y така што Предлошка:Nowrap. Со други зборови, бројот y чиј квадрат е a (резултат на множење на бројот со самиот себе, или Предлошка:Nowrap). На пример, 4 и −4 се квадратни корени на бројот 16, затоа што Предлошка:Nowrap. Потполно исправно би било да се пишува $\sqrt[2]{a}$, и да се изговара „квадратен корен од a“, меѓутоа тоа ретко се прави затоа што во најголем број случаи коренот се однесува на квадратен корен, па се востановил пократок изговор и поедноставен запис.

Секој ненегативен реален број a има единствен ненегативен квадратен корен, кој се нарекува главен квадратни корен, и се означува со Предлошка:Sqrt, при што √ се нарекува ознака за корен или радикс. На пример, главниот квадратен корен од 9 е 3, што се бележи со Предлошка:Sqrt = 3, затоа што Предлошка:Nowrap и 3 е ненегативен. Членот (или бројот) чијшто квадратен корен се разгледува се нарекува радиканд. Радиканд е број или израз под коренскиот знак, во овој пример 9.

Секој позитивен број a има два квадратни корена: Предлошка:Sqrt, кој е позитивен, и −Предлошка:Sqrt, кој е негативен. Заедно, овие два корена се означуваат со ±Предлошка:Sqrt (погледајте го знакот ±). И покрај тоа што главниот квадратен корен од позитивен број е само еден од неговите два единствени корени, ознаката за „квадратен корен” обично се користи за означување на главниот квадратен корен. За позитивен a, главниот квадратен корен може да се запише како степен, a^1/2.

Квадратните корени од негативни броеви може да се разгледуваат во рамките на комплексните броеви. Поопшто, квадратните корени може да се разгледуваат во кој било контекст во кој е дефиниран поимот „квадрирање” на некои математички објекти (вклучувајќи ги алгебарската матрица, ендоморфистички прстени, итн.)

Дефиниција

Оваа операција се дефинира со следната релација:

Квадратен корен од бројот x е ненегативен број кој помножен сам со себе го дава x.

На пример, $\sqrt{9}=3$ затоа што $3^2=3\cdot 3=9$.

Примерот покажува како се појавува квадратниот корен при решавање на квадратната равенка $x^2=9$.

Обопштено, квадратна равенка има облик $a{x}^2+bx+c=0$ и за нејзино решавање неопходна е примена на квадратен корен.

Особини

Графикон на функцијата f(x) = √x, е половина парабола со исправена директриса.

Оваа функција е диференцијабилна и интеграбилна во целиот домен.

Квадратен корен е функција $f(x)=\sqrt{x}$ која го пресликува множеството ненегативни реални броеви ${ℝ}^{+}\cup \{0\}$ во самото себе.

Квадратен корен од квадрат на некој реален број не е самиот тој број, туку неговата апсолутна вредност:

$\sqrt{x^2}=\left|x\right|=\{\begin{array}{cc}x,& \text{if }x\ge 0\\ -x,& \text{if }x\le 0.\end{array}$

Заради оваа своја особина, квадратниот корен не е права инверзна функција на квадратната функција. Квадратната функција и функцијата на квадратен корен се инверзни во множеството ${ℝ}^{+}\cup \{0\}$.

Квадратниот корен може да се дефинира и на полето на комплексни броеви, како и на матрици.

Квадратен корен од природен број често е ирационален број т.е. број кој не може да се запише во облик на дропка. На пример $\sqrt{2}$ не може да се запише како m/n, каде n и m се природни броеви. Меѓутоа, точно толку изнесува должината на дијагонала на квадрат чија должина на страна е еднаква на 1.

Историја

Откривањето на фактот дека $\sqrt{2}$ и бројот 1 се несразмерни, му се припишува на Хипас, ученик на Питагора. За питагорејците овој факт бил толку шокантен што терминот ирационален, чиј првобитен превод значи несразмерен, кој не може да се прикаже во облик на количник (Предлошка:Lang-lat) и денес се користи за нешто неразбирливо, туѓо на промислување .

Ознака, симбол, за квадратен корен ($\sqrt{}$) првпат била употребена во 16 век. Според некои математичари, меѓу кои и Ојлер, знакот проистекол од изменетиот испис на малата латинична буква r, што е скратеница од Предлошка:Lang-lat што значи корен.

Поврзано

• Методи за пресметување квадратен корен
• Кубен корен
• Степенување

Литература

• Предлошка:Наведена книга Extract of page 78 Предлошка:Webarchive
• Предлошка:Наведена книга
• Предлошка:Наведена книга
• Предлошка:Наведена книга
• Предлошка:Наведена книга
• Предлошка:Citation.

Надворешни врски

• Algorithms, implementations, and moreПредлошка:SndPaul Hsieh's square roots webpage
• How to manually find a square root
• AMS Featured Column, Galileo's Arithmetic by Tony PhilipsПредлошка:Sndincludes a section on how Galileo found square roots