Косеканс

Косеканс – тригонометриска функција еднаква на односот помеѓу хипотенузата и спротивната катета во правоаголен триаголник. Косекансот е реципрочна вредност од синус.

Дефиниција

Дефиницијата гласи:

$\sec x=\frac{1}{\sin x}$

Врската со секанс е

$\mathrm{cosec}x=\sec (x-\pi /2)$

Како и останатите тригонометриски функции и косекансот претставува однос меѓу две страни на правоаголен триаголник. Косеканс е однос на хипотенузата и спротивната катета.

$\sec \theta =\frac{h}{a}$ Тригонометриски триаголник

На тригонометрискиот круг вредноста на косекансот е еднаква на големината на следната должина

$\csc \theta =\overline{OE}$ Првиот квадрант од единична кружница

Некои карактеристични вредности

степени	0°	30°	45°	60°	90°
радијани	0	$\pi /6$	$\pi /4$	$\pi /3$	$\pi /2$
$\sec \theta$	$\mathrm{\infty }$	$2$	$\sqrt{2}$	$\frac{2}{3}\sqrt{3}$	$1$

Претставување на функцијата

Функцијата може да се претстави во следниот вид:

$\csc (x)=\frac{1}{x}-2x\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k^2{\pi }^2-x^2}=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k}x}{x^2-k^2{\pi }^2}$

Особини на функцијата

Со детална анализа може да се одредат карактеристичните особини на функцијата.

• Дефинициона област на функцијата:

функција е дефинирана во множеството реални броеви $ℝ$, освен во точките каде има прекини, а кои се преброиви

$-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty };x\ne \left(n\right)\cdot \pi ;n\in \mathbb{Z}$

• Област на вредностите на функцијата:

функцијата зема вредности во опсег на реалните броеви, освен во областа -1 до 1

$-\mathrm{\infty }<\sec (x)\le -1\cup 1\le \sec (x)<+\mathrm{\infty }$

• Парност

функција е непарна

$\sec (-x)=\sec (x)$

• Периодичност

функцијата е периодична со основна периода 2π

$\sec (x+2\pi )=\sec (x)$

• Асимптоти

функцијата има вертикални асимптоти во точките

$x=\left(n\right)\cdot \pi ;n\in \mathbb{Z}$

функцијата нема хоризонтални и коси асимптоти

• Нули на функцијата

функцијата нема нули

• Монотоност на функцијата
• Екстреми

нема глобален екстрем

локален минимум

$\mathrm{cosec}((2n+1/2)\cdot \pi )=1;n\in \mathbb{Z}$

локален максимум

$\mathrm{cosec}((2n-1/2)\cdot \pi )=1;n\in \mathbb{Z}$

• Превојни точки

функцијата нема превојни точки

Извод од функцијата

Првиот извод од функцијата е

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\csc (x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{1}}{\sin (x)}=\frac{-\cos (x)}{{\sin }^2(x)}=-\csc (x)\cdot \cot (x)=-\frac{{\csc }^2(x)}{\sec (x)}$

Интеграл

Неодредениот интеграл на функцијата е

$\int \csc (x)\mathrm{d}x=\ln \left|\frac{\sin (x)}{1+\cos (x)}\right|+C=\ln |\tan \left(\frac{x}{2}\right)|+C$

Комплексен аргумент

$\csc (x+\mathrm{i}\cdot y)=\frac{-2\sin (x)\cosh (y)}{\cos (2x)-\cosh (2y)}+\mathrm{i}\frac{2\cos (x)\sinh (y)}{\cos (2x)-\cosh (2y)}$   mit $x,y\in ℝ$

Надворешни врски

• Eric W. Weisstein: Secant und Cosecant auf MathWorld
• Функцијата косеканс на wolfram.com

Литература

• Бронштајн, Семендјајев, Справочник по математике дља инженеров и учахчихсја втузов, Москва, »Наука«, 1980