Котангенсна теорема

Триаголник заедно со впишаната кружница во него и поделбата на страните. Симетралите на аглите се сечат во центарот на впишаната кружница.

Според горното резонирање, прикажани се сите шест дела.

Котангенсна теорема – во тригонометријата оваа теорема е однос помеѓу должината на секоја од страните на даден триаголник и котангенсот од половинката од аглот наспроти страната.

Слично како што во синусната теорема размерот на секоја страна и синусот на аголот наспроти неа е еднаков на пречникот на опишаната кружница околу триаголникот (или нивните реципрочни вредности, во зависност од тоа како теоремата е изразена), котангенсната теорема е врска помеѓу полупречникот на впишаната кружница во триаголникот и неговите страни и агли.

Тврдење

Ако ги користиме вообичаените ознаки за триаголник при што (види ја сликата горе десно): $a,b,c$ се должините на трите страни на триаголникот, $A,B,C$ се темињата спротивни на соодветните страни, $\alpha ,\beta ,\gamma$ се соодветните агли при овие темиња, $s=\frac{a+b+c}{2}$ е полуобемот на триаголникот и $r$ е полупречник на впишаната кружница, тогаш котангенсната теорема гласи

$\frac{\text{ctg}\left(\frac{\alpha }{2}\right)}{s-a}=\frac{\text{ctg}\left(\frac{\beta }{2}\right)}{s-b}=\frac{\text{ctg}\left(\frac{\gamma }{2}\right)}{s-c}=\frac{1}{r}.$

Полупречникот на впишаната кружница е даден со

$r=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}.$

Доказ

На горната слика, допирните точки на впишаната кружница со страните на триаголникот го делат периметарот на триаголникот на 6 отсечки. Овие отсечки може да се поделат во 3 пара при што отсечките во секој пар имаат еднакви должини. На пример, двете отсечки на кои крајна точка им е темето Предлошка:Math се еднакви. Ако се земе по една отсечка од секоја пар, нивниот збир е еднаков на полуобемот Предлошка:Math. Пример за ова се отсечките во боја прикажани на сликата. Двете отсечки кои ја чинат црвената линија имаат збир $a$, па сината отсечка мора да има должина $s-a$. Очигледно, другите пет отсечки мора да имаат должини $s-a$, $s-b$ или $s-c$ (како што е прикажано на долната слика десно). Од цртежот, користејќи ја дефиницијата за котангенс на агол, се добива

$\text{ctg}\left(\frac{\alpha }{2}\right)=\frac{s-a}{r}.$

Аналогно се добиваат равенствата и за другите два агла, со што е докажано првото тврдење.

За второто, т.е. за формулата за полупречникот на впишана кружница, се почнува со формулата за котангенс на збир од три агла:

$\text{ctg}(u+v+w)=\frac{\text{ctg}(u)+\text{ctg}(v)+\text{ctg}(w)-\text{ctg}(u)\text{ctg}(v)\text{ctg}(w)}{1-\text{ctg}(u)\text{ctg}(v)-\text{ctg}(v)\text{ctg}(w)-\text{ctg}(w)\text{ctg}(u)}.$

Применувајќи ја оваа формула на $\text{ctg}(\frac{\alpha }{2}+\frac{\beta }{2}+\frac{\gamma }{2})=\text{ctg}\left(\frac{\pi }{2}\right)=0$, се добива дека:

$\text{ctg}\left(\frac{\alpha }{2}\right)+\text{ctg}\left(\frac{\beta }{2}\right)+\text{ctg}\left(\frac{\gamma }{2}\right)-\text{ctg}\left(\frac{\alpha }{2}\right)\text{ctg}\left(\frac{\beta }{2}\right)\text{ctg}\left(\frac{\gamma }{2}\right)=0$

од каде

$\text{ctg}\left(\frac{\alpha }{2}\right)\text{ctg}\left(\frac{\beta }{2}\right)\text{ctg}\left(\frac{\gamma }{2}\right)=\text{ctg}\left(\frac{\alpha }{2}\right)+\text{ctg}\left(\frac{\beta }{2}\right)+\text{ctg}\left(\frac{\gamma }{2}\right).$

(ова е важен идентитет за звирот на три котангенси на аглите во триаголник). Со замена на вредностите добиени во првиот дел, се добива:

$\frac{(s-a)}{r}\frac{(s-b)}{r}\frac{(s-c)}{r}=\frac{s-a}{r}+\frac{s-b}{r}+\frac{s-c}{r}=\frac{3s-2s}{r}=\frac{s}{r}.$

Множејќи го равенството со $\frac{r^3}{s}$ се добива $\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}=r^2$. Aко на двете страни се побара квадратен корен, следува второто равенство.

Некои докази со користење на котангенсната теорема

Бројни други резултати може да се изведат од котангенсната теорема.

• Херонова формула. Може да се забележи дека со симетралите на аглите на триаголник Предлошка:Math, неговата плоштина е поделена на три пара од 6 помали триаголника, при што триаголниците од ист пар имаат еднакви плоштини. На пример, двата триаголника кај темето Предлошка:Math, како правоаголни со страна $s-a$ и висина кон неа Предлошка:Math, имаат плоштини еднакви на $\frac{1}{2}(s-a)r$. Така, овие два триаголника имаат вкупна површина од $(s-a)r$, а плоштината $P$ на целиот триаголник е

$\begin{array}{cc}P& =r(s-a)+r(s-b)+r(s-c)=r(3s-(a+b+c))=r(3s-2s)=rs\\ \end{array}$

Oттука се добива Хероновата формула за плоштина на триаголник изразена преку неговите страни

$P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

како што се бараше.

• Молвајдеoва прва формула. Од формулата за синус од збир и разлика и котангенсната теорема се добива

$\frac{\sin (\frac{\alpha }{2}-\frac{\beta }{2})}{\sin (\frac{\alpha }{2}+\frac{\beta }{2})}=\frac{\text{ctg}\left(\frac{\beta }{2}\right)-\text{ctg}\left(\frac{\alpha }{2}\right)}{\text{ctg}\left(\frac{\beta }{2}\right)+\text{ctg}\left(\frac{\alpha }{2}\right)}=\frac{a-b}{2s-a-b}.$ Ова го дава резултатот

$\frac{a-b}{c}=\frac{\sin (\frac{\alpha }{2}-\frac{\beta }{2})}{\cos \left(\frac{\gamma }{2}\right)}$ познат како прва Мовајдеова формула.

• Молвајдеoва втора формула. Од формулата за собирање и котангенсната теорема се добива

$\begin{array}{cc}& \frac{\cos (\frac{\alpha }{2}-\frac{\beta }{2})}{\cos (\frac{\alpha }{2}+\frac{\beta }{2})}=\frac{\text{ctg}\left(\frac{\alpha }{2}\right)\text{ctg}\left(\frac{\beta }{2}\right)+1}{\text{ctg}\left(\frac{\alpha }{2}\right)\text{ctg}\left(\frac{\beta }{2}\right)-1}\\ =& \frac{\text{ctg}\left(\frac{\alpha }{2}\right)+\text{ctg}\left(\frac{\beta }{2}\right)+2\text{ctg}\left(\frac{\gamma }{2}\right)}{\text{ctg}\left(\frac{\alpha }{2}\right)+\text{ctg}\left(\frac{\beta }{2}\right)}=\frac{4s-a-b-2c}{2s-a-b}.\end{array}$

Тука се бара еден дополнителен чекор за да се преобрази производот во збир, согласно формулата за збир/производ на котангенси.

Ова го дава резултатот

$\frac{a+b}{c}=\frac{\cos (\frac{\alpha }{2}-\frac{\beta }{2})}{\sin \left(\frac{\gamma }{2}\right)}$ познат како втора Мовајдеова формула

• Од котангенсната теорема може да се изведе тангенсната теорема (Предлошка:Harv).

Поврзано

• Синусна теорема
• Косинусна теорема
• Тангенсна теорема
• Молвајдеева формула

Наводи

• Предлошка:Наведена книгаПредлошка:Refend