Полуобем

Полуобем (полупериметар) на еден многуаголник — половина на неговиот обем. Полуобемот обично се означува со буквата s (од анг. semiperimeter). Полуобемот се користи доста често во формули, особено кај триаголниците, па затоа има свое име (и страна).

Триаголник

Полуобем на триаголник со страни a, b и c е:

$s=\frac{1}{2}(a+b+c)$

Пример: Нека ΔABC е триаголник со страни a=2mm, b=2mm и c=1mm.

Полуобемот е:   $s=\frac{1}{2}(a+b+c)=\frac{1}{2}(2\text{mm}+2\text{mm}+1\text{mm})=\frac{5}{2}\text{mm}=2,5\text{mm}$

Формули со полуобем на триаголник

Плоштината е: $A=rs$

Плоштината на еден триаголник се пресметува преку полуобемот со Херонова формула:

$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.

Плоштината на еден триаголник е еднаква на производот на полупречникот r на неговата впишана кружница со полуобемот:

$A=rs$.

Полупречникот r на впишаната кружница на еден триаголник е:

$r=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}$

Полупречникот R на опишаната кружница на еден триаголник е:

$2R=\frac{abc}{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

Основни особини

• Полуобем s е позитивен број. Физичка величина за полуобем е должина.
• Важат формулите $s-a=\frac{1}{2}(-a+b+c)$   и   $s-b=\frac{1}{2}(a-b+c)$   и   $s-c=\frac{1}{2}(a+b-c)$ .

Доказ за s-a (Аналогно се докажува декаа s-b и s-c):

$s-a=\frac{1}{2}(a+b+c)-a=\frac{1}{2}(-a+b+c)$.

• Полуобем s e поголем од секоја страна од триаголникот.

Доказ за s>a (Аналогно се докажува дека s>b и s>c):

Од неравенството на триаголник, збирот на кои било две страни на еден триаголник е поголем од третата страна, па следи

$b+c>a$

$-a+b+c>0$

$2(s-a)>0$

$s>a$.

Полуобем и правоаголен триаголник

• Плоштина на правоаголен триаголник со катети a и b е:

$A=(s-a)(s-b)$

• За правоаголен триаголник, полупречникот на надворешната кружница на хипотенузата е еднаква на полуобем.
• Полуобемот на правоаголен триаголник s=r+2R.

Други одлики на полуобемот

Во кој било триаголник, растојанието околу триаголникот од едно теме до точката на обратниот раб каде што допира надворешната кружница е полуобемот.

• Во кој било триаголник, должината од темето А до точката А' во која надворешната кружница ја допира страната а е полуобемот, односно $s=\overline{AB}+\overline{B{A}^{\prime }}=\overline{AC}+\overline{C{A}^{\prime }}$  . Аналогно важат равенките: $s=\overline{BC}+\overline{C{B}^{\prime }}=\overline{BA}+\overline{A{B}^{\prime }}$   и   $s=\overline{CB}+\overline{B{C}^{\prime }}=\overline{CA}+\overline{A{C}^{\prime }}$
• Права низ центарот на впишаната кружница на еден триаголник го преполовува периметарот на триаголникот ако и само ако ја преполовува плоштината на триаголникот.
• Во кој било триаголник T, периметарот на медијанлната триаголник на T е полуобемот на T.

Четириаголник

Полуобемот на четириаголник со страни a, b, c и d е

$s=\frac{a+b+c+d}{2}$.

Плоштината на еден тангентен четириаголник е еднаква на производот на полупречникот r на неговата впишана кружница со неговиот полуобем:

$A=rs$.

Правилен многуаголник

Плоштината на испакнат правилен многуаголник е производ на неговиот полуобем и неговата апотема, т.е. отсечка од центарот на многуаголникот до средината на (која било) од неговите страни.

Поврзани теми

Херонова формула

Надворешни врски

• „Полуобем“ на википедија Предлошка:En
• Предлошка:Mathworld
• http://www.cut-the-knot.org/triangle/InExCircles.shtml Предлошка:En