Поворка импулси

Поворка од импулси како бесконечен ред на Диракова делта функција на интервали од Т.

Во математиката, поворка импулси (исто така Дираков чешел и функција на примеркување во електротехниката) е периодична Шварцова распределба составена од Диракови делта функции.

${\mathrm{\Delta }}_T(t)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t-kT)$

на некој одреден временски интервал Т. Некои автори, конкретно Брејсвел, како и некои автори на учебници по електротехника и теорија на електрични кола, оваа функција ја нарекуваат функција Ш (веројатно затоа што графиконот наликува на обликот на буквата Ш). Бидејќи оваа функција е периодична, таа може да биде претставена со Фуриеов ред:

${\mathrm{\Delta }}_T(t)=\frac{1}{T}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{i2\pi nt/T}.$

Својство на скалирање

Својството на скалирање следи директно од својството Дираковата делта функција

$\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t-kT)=|\alpha |\cdot \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (\alpha \cdot (t-kT)).$

Фуриеов ред

Јасно е дека Δ _T () е периодичен со период Т. Т.е.

${\mathrm{\Delta }}_T(t+T)={\mathrm{\Delta }}_T(t)\mathrm{\forall }t$ .

Комплексниот Фуриеов ред за таква периодична функција е

${\mathrm{\Delta }}_T(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{c}_n{e}^{i2\pi nt/T}$

каде што Фуриеовите коефициенти, c_n, изнесуваат

$c_n$	$=\frac{1}{T}\underset{t_0}{\overset{t_0+T}{\int }}{\mathrm{\Delta }}_T(t)e^{-i2\pi nt/T}dt(-\mathrm{\infty }<t_0<+\mathrm{\infty })$
	$=\frac{1}{T}\underset{-T/2}{\overset{T/2}{\int }}{\mathrm{\Delta }}_T(t)e^{-i2\pi nt/T}dt$
	$=\frac{1}{T}\underset{-T/2}{\overset{T/2}{\int }}\delta (t)e^{-i2\pi nt/T}dt$
	$=\frac{1}{T}{e}^{-i2\pi n0/T}$
	$=\frac{1}{T}.$

Сите Фуриеови коефициенти се 1/ Т, поради што

${\mathrm{\Delta }}_T(t)=\frac{1}{T}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{i2\pi nt/T}$ .

Фуриеова трансформација

Кога се користи како идеален одбирник, може да се употреби за да се разбере ефектот на преклопување (алијасинг) и како доказ за Никвист-Шеноновата теорема за земање примероци.

Единична трансформација во фреквенциски домен ():

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t-nT)\stackrel{ℱ}{⟺}\frac{1}{T}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (f-\frac{k}{T})=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-i2\pi fnT}$

Единична трансформација во аголен фреквенциски домен ():

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t-nT)\stackrel{ℱ}{⟺}\frac{\sqrt{2\pi }}{T}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (\omega -k\frac{2\pi }{T})=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-i\omega nT}$

Земање примероци и преклопување

Множењето на континуиран сигнал со поворка од импулси понекогаш се нарекува идеален одбирник со интервал на земање примероци Т.