Пол и полара

Поларата q на точка Q во однос на кружницата со радиус r и центар во точката O. Точката P е точката при инверзија на Q во однос на дадената кружница; поларата е правата низ P која е нормална на правата која ги содржи O, P и Q.

Во геометријата, пол и полара се соодветно точка и права кои имаат единствена реципрочна врска во однос на даден конусен пресек .

Поларната реципрочност во дадена кружница е трансформација на секоја точка од рамнината во нејзината полара и секоја права од рамнината во нејзиниот пол.

Својства

Полот и поларата имаат неколку корисни својства:

• Ако точката P лежи на правата l, тогаш полот L на правата l лежи на поларата p на точката P.
• Ако точката P се движи по права l, нејзината полара p се врти околу полот L од правата l.
• Ако може да се повлечат две тангентни прави од полот кон конусниот пресек, тогаш неговата полара поминува низ двете допирни точки.
• Ако точка лежи на конусниот пресек, нејзината полара е тангентата на конусниот пресек која минува низ оваа точка.
• Ако точката P лежи на сопствената полара, тогаш P е на конусниот пресек.
• Секоја права има, во однос на недегенериран конусен пресек, точно еден пол.

Специјален случај за кружници

Полот на правата L во кружницата C е точка Q која е инверзна во однос на C на точката P која лежи на L и е најблиску до центарот на кружницата. Спротивно на тоа, поларата (или поларната права) на точката Q во кружницата C е правата L таква што нејзината најблиска точка P до центарот на кружницата е инверзијата на Q во C.

Ако точката A лежи на поларната права q на друга точка Q, тогаш Q лежи на поларната права a на A. Поопшто, поларите на сите точки на правата q мора да минуваат низ неговиот пол Q.

Односот помеѓу половите и поларите е реципрочен. Така, ако точката A лежи на поларата q на точката Q, тогаш точката Q мора да лежи на поларата a на точката A. Двете поларни прави a и q не мора да бидат паралелни.

Постои уште еден опис на поларата на точка P во случај таа да лежи надвор од кружницата C. Во овој случај, има две прави низ P кои се тангенти на кружницата, а поларата на P е правата која ги спојува тие две допирни точки (не е прикажано овде). Ова покажува дека полот и поларата се концепти во проективната геометрија на рамнината и се генерализираат за кој било несингуларен коник на местото на кружницата C.

Поларна реципрочност

Илустрација на дуалноста помеѓу точките и правите и дуалното значење на „инциденцата“. Ако две прави a и k минуваат низ една точка Q, тогаш поларата q на Q ги поврзува половите A и K на правите a и k, соодветно.

Концептите пол и негова полара биле унапредени во проективната геометрија . На пример, поларата може да се гледа како збир на проективни хармонични конјугати на дадена точка, полот, во однос на некој коник. Операцијата на замена на секоја точка со нејзината полара и обратно е позната како поларност.

За некоја точка P и нејзината полара p, која било друга точка Q на p е пол на правата q која минува низ P. Ова е реципрочен однос и со него инциденците се зачувани.

Општи конусни пресеци

Правата p е полара на точката P, l на L и m на M

p е полара на точката P; m е поларата на М

Концептите пол, полара и реципрочност може да се генерализираат од кружници на други конусни пресеци како елипса, хипербола и парабола. Оваа генерализација е можна затоа што конусните пресеци произлегуваат од реципрочноста на кружница со друга кружница, а вклучените својства, како што се инциденцата и двојниот однос, се запазуваат при сите проективни трансформации .

Пресметување на поларата на точка

Општ конусен пресек може да се запише како равенка од втор степен во Декартови координати (x, y) на рамнината$$A_{xx}{x}^2+2A_{xy}xy+A_{yy}{y}^2+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0$$каде A _xx, A _xy, A _yy, B _x, B _y и C се константите што ја дефинираат равенката. За таков конусен пресек, поларата на даден пол - точка Предлошка:Мат е дефинирана со равенката$$Dx+Ey+F=0$$каде што D, E и F се исто така константи кои зависат од координатите на полот Предлошка:Мат$$\begin{array}{cc}D& =A_{xx}\xi +A_{xy}\eta +B_x\\ E& =A_{xy}\xi +A_{yy}\eta +B_y\\ F& =B_x\xi +B_y\eta +C\end{array}$$

Пресметување на пол на права

Полот на правата $Dx+Ey+F=0$, во однос на недегенерираниот конусен пресек$$A_{xx}{x}^2+2A_{xy}xy+A_{yy}{y}^2+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0$$може да се пресмета во два чекора.

Прво, се пресметуваат броевите x, y и z од$$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]={\left[\begin{array}{ccc}{A}_{xx}& A_{xy}& B_x\\ A_{xy}& A_{yy}& B_y\\ B_x& B_y& C\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}D\\ E\\ F\end{array}\right]$$Полот е точката со координати $(\frac{x}{z},\frac{y}{z})$

Табели за пол-поларни односи

• Релација пол-полара за елипса
• Релација пол-полара за хипербола
• Релација пол-полара за парабола

коник	равенка	полара на точката $P=(x_0,y_0)$
кружница	$x^2+y^2=r^2$	$x_{0}x+y_{0}y=r^2$
елипса	${\left(\frac{x}{a}\right)}^2+{\left(\frac{y}{b}\right)}^2=1$	$\frac{x_{0}x}{a^2}+\frac{y_{0}y}{b^2}=1$
хипербола	${\left(\frac{x}{a}\right)}^2-{\left(\frac{y}{b}\right)}^2=1$	$\frac{x_{0}x}{a^2}-\frac{y_{0}y}{b^2}=1$
парабола	$y=a{x}^2$	$y+y_0=2a{x}_{0}x$

коник	равенка	пол на правата Предлошка:Мат
кружница	$x^2+y^2=r^2$	$(\frac{r^{2}u}{w},\frac{r^{2}v}{w})$
елипса	${\left(\frac{x}{a}\right)}^2+{\left(\frac{y}{b}\right)}^2=1$	$(\frac{a^{2}u}{w},\frac{b^{2}v}{w})$
хипербола	${\left(\frac{x}{a}\right)}^2-{\left(\frac{y}{b}\right)}^2=1$	$(\frac{a^{2}u}{w},-\frac{b^{2}v}{w})$
парабола	$y=a{x}^2$	$(-\frac{u}{2av},-\frac{w}{v})$

Преку комплетен четириаголник

За дадени четири точки кои формираат комплетен четириаголник, правите кои ги поврзуваат точките се вкрстуваат во дополнителни три диагонални точки. За дадена точка Z која не е на коникот C, нацртајте две секанти низ Z кои го сечат C во точките A, B, D и E . Тогаш овие четири точки формираат комплетен четириаголник со Z како една од диагоналните точки. Правата која ги спојува другите две диагонални точки е поларата на Z, а Z е полот на оваа права.

Апликации

Половите и поларите биле дефинирани од Жозеф Диаз Жергон и играат важна улога при неговото решавање на задачата на Аполониј .

Во рамнинската динамика, полот е центар на ротација, поларата е линијата на дејство на силата, а коникот е матрицата маса-инерција. Односот пол-полара се користи за дефинирање на центарот на удари на рамнинско цврсто тело. Ако столбот е точката на шарката, тогаш поларата е ударната линија на дејство како што е опишано во рамнинската теорија на завртки .

Поврзано

• Дуален полигон
• Дуален полиедар
• Поларна крива
• Проективна геометрија
• Проективни хармонични конјугати

Библиографија

• Предлошка:Наведена книга
• Предлошка:Наведена книга
• Предлошка:Наведена книга
• Предлошка:Наведена книга Книжна верзија е издадена од Dover Publications со Предлошка:ISBN.
• Предлошка:Наведена книга

Надворешни врски

• Интерактивна анимација со повеќе полови и полари на Cut-the-Knot
• Интерактивна анимација со еден пол и неговата полара
• Интерактивна 3D со обоени повеќекратни полови/полари - отворен код
• Предлошка:MathWorld
• Предлошка:MathWorld
• Предлошка:MathWorld
• Предлошка:MathWorld