Проективен хармоничен конјугат

Предлошка:Мпром е хармонично конјугирана на Предлошка:Мпром во однос на Предлошка:Мпром и Предлошка:Мпром
Предлошка:Мпром формираат хармонична четворка.
Предлошка:Мпром е целосен четириаголник кој ја генерира.

Во проективната геометрија, хармонично конјугирана точка или хармоничен конјугат на подредена тројка точки на реалната проективна права се дефинира со следнава конструкција:

За дадени три колинеарни точки Предлошка:Мпром, нека Предлошка:Мпром е точка која не е колинеарна со нив и нека некоја права низ Предлошка:Мпром ги сече Предлошка:Мпром во Предлошка:Мпром соодветно. Ако Предлошка:Мпром и Предлошка:Мпром се сечат во Предлошка:Мпром, а Предлошка:Мпром се сече со Предлошка:Мпром во Предлошка:Мпром, тогаш Предлошка:Мпром се нарекува хармонично конјугирана точка на Предлошка:Мпром во однос на Предлошка:Мпром

Точката Предлошка:Мпром не зависи од тоа која точка Предлошка:Мпром првично се зема, ниту пак од правата повлечена низ Предлошка:Мпром која се користи за да се најдат Предлошка:Мпром и Предлошка:Мпром. Овој факт произлегува од теоремата на Дезарг .

Во реалната проективна геометрија, хармоничната конјугација може да се дефинира и преку двоен однос како Предлошка:Мат .

Критериум за двоен однос

Четирите точки понекогаш се нарекуваат хармонична четворка (на реалната проективна права) бидејќи, како што се докажува, Предлошка:Мпром секогаш ја дели отсечката Предлошка:Мпром внатрешно во ист сооднос како што Предлошка:Мпром ја дели Предлошка:Мпром надворешно . Тоа значи:

$\overline{AC}:\overline{BC}=\overline{AD}:\overline{DB}.$

Ако на овие отсечки им се даде обична метричка интерпретација на реалните броеви, тие ќе одговараат на реални броеви и ќе формираат двојна пропорција позната како двоен однос (понекогаш наречен двоен сооднос)

$(A,B;C,D)=\frac{\overline{AC}}{\overline{AD}}/\frac{\overline{BC}}{-\overline{DB}},$

кој за хармонична четворка има вредност − 1. Затоа пишуваме:

$(A,B;C,D)=\frac{\overline{AC}}{\overline{AD}}\cdot \frac{\overline{BD}}{\overline{BC}}=-1.$

Вредноста на двојниот однос генерално не е единствена, бидејќи зависи од редоследот на избор на отсечките (и можни се шест такви избора). Но, специјално за хармоничните четворки постојат само три вредности на двојниот однос: Предлошка:Мат бидејќи − 1 е инверзна сама на себе па смената на последните две точки само ја враќа секоја од овие вредности, но не произведува нова вредност, и класично е познат како хармоничен двоен однос.

Изразен преку двоен однос, за дадени точки Предлошка:Мпром и Предлошка:Мпром на афина права, односот на делење на точка Предлошка:Мпром е:

$t(x)=\frac{x-a}{x-b}.$

Забележете дека кога Предлошка:Мат, тогаш Предлошка:Мат е негативен; инаку, Предлошка:Мат е позитивен. Двојниот однос $(c,d;a,b)=\frac{t(c)}{t(d)}$ е однос на односите на делење или двоен однос. Двојниот однос е -1 кога Предлошка:Мат, а тогаш Предлошка:Мпром и Предлошка:Мпром се хармониски конјугирани во однос на Предлошка:Мпром и Предлошка:Мпром. Значи, критериумот за односот на поделба е тие да бидат адитивно инверзни .

Хармоничното делење на отсечка е посебен случај на Аполониевата дефиниција за кругот .

Во некои училишни студии конфигурацијата на хармонична четворка се нарекува хармонска поделба .

За средината

Средината и бесконечноста се хармониски конјугирани.

Кога Предлошка:Мпром е средна точка на отсечката од Предлошка:Мпром до Предлошка:Мпром, тогаш

$t(x)=\frac{x-a}{x-b}=-1.$

Според критериумот за двоен однос, Предлошка:Мпром ќе биде хармониски конјугирана на Предлошка:Мпром кога Предлошка:Мат. Но, не постои конечно решение за Предлошка:Мпром на правата преку Предлошка:Мпром и Предлошка:Мпром . Сепак,

$\underset{y\to \mathrm{\infty }}{\lim }t(y)=1,$

со што се мотивира вклучување на бесконечна точка на проективната права. Бесконечната точка служи како хармонично конјугирана на средната точка Предлошка:Мпром.

Од комплетен четириаголник

Друг пристап кон хармонискиот конјугат е преку концептот на комплетен четириаголник како што е Предлошка:Мпром на горниот дијаграм. Врз основа на четири точки, комплетниот четириаголник има парови од спротивни страни и дијагонали. Во изразувањето на хармоничните конјугати од H. S. M. Coxeter, дијагоналите се сметаат за пар спротивни страни:

Предлошка:Мпром да е хармониски конјугирана на Предлошка:Мпром во однос на Предлошка:Мпром и Предлошка:Мпром значи дека постои четириаголник Предлошка:Мпром за кој едниот пар спротивни страни се сечат во Предлошка:Мпром, вториот пар се сечат во Предлошка:Мпром, а третиот пар спротивни страни ја сечат Предлошка:Мпром во Предлошка:Мпром и Предлошка:Мпром.

Карл фон Стаудт прв го употребил хармонискиот конјугат како основа за проективната геометрија независно од метричките размислувања:

. . . Стауд успеа да ја ослободи проективната геометрија од елементарната геометрија. Во неговата Предлошка:Јаз, Стауд вовел хармонична четворка на елементи независно од концептот на двоен однос следејќи чисто проективна рута, користејќи комплетен четириаголник или четиристраник.

Предлошка:Мат, Предлошка:Мат, Предлошка:Мат, Предлошка:Мат, Предлошка:Мат



(игнорирајте ја зелената точка М).

За да го видите целосниот четириаголник применет за добивање на средната точка, разгледајте го следниов пасус од Џ. В. Јанг:

Ако се повлечат две произволни прави Предлошка:Мпром низ Предлошка:Мпром и правите Предлошка:Мпром низ Предлошка:Мпром, паралелни со Предлошка:Мпром соодветно, правите Предлошка:Мпром се сечат, по дефиниција, во бесконечната точка Предлошка:Мпром, додека Предлошка:Мпром се сечат по дефиниција во бесконечната точка Предлошка:Мпром. Комплетниот четириаголник Предлошка:Мпром тогаш има две дијагонални точки на Предлошка:Мпром и Предлошка:Мпром, додека преостанатиот пар на спротивни страни минуваат низ Предлошка:Мпром и бесконечната точка на Предлошка:Мпром. Точката Предлошка:Мпром е тогаш по конструкција хармоничен конјугат на бесконечната точка на Предлошка:Мпром во однос на Предлошка:Мпром и Предлошка:Мпром. Од друга страна, дека Предлошка:Мпром е средната точка на отсечката Предлошка:Мпром следи од познатата пропозиција дека дијагоналите на паралелограм (Предлошка:Мпром) се преполовуваат една со друга.

Кватернарни релации

Четири подредени точки на проективен опсег се нарекуваат хармонични точки кога има тетрастигма во рамнината таква што првата и третата се коточки, а другите две точки се на конекторите на третата коточка.

Ако Предлошка:Мпром е точка која не е на правата со хармонични точки, спојувањата на Предлошка:Мпром со точките се хармонични прави. Слично на тоа, ако оската на сноп од рамнини е закривена кон права со хармонични точки, рамнините на точките се хармонични рамнини.

Множеството од четири елемента во таква врска се нарекува хармонична четворка .

Проективни коники

Коника во проективната рамнина е крива Предлошка:Мпром која го има следново својство: Ако Предлошка:Мпром е точка која не е на Предлошка:Мпром, и ако променлива права низ Предлошка:Мпром се сече со Предлошка:Мпром во точките Предлошка:Мпром и Предлошка:Мпром, тогаш променливата хармонична конјугирана точка на Предлошка:Мпром во однос на Предлошка:Мпром и Предлошка:Мпром формира права. Точката Предлошка:Мпром се нарекува пол на таа права на хармонични конјугати, а оваа права се нарекува поларна права на Предлошка:Мпром во однос на кониката. Видете ја статијата Пол и полара за повеќе детали.

Инверзивна геометрија

Во случај кога кониката е кружница, на продолжените дијаметри на кружницата, хармоничните конјугати во однос на кружницата се инверзни во однос на кружницата. Овој факт произлегува од една од теоремите на Смогоржевски:

Ако кружниците Предлошка:Мпром и Предлошка:Мпром се меѓусебно ортогонални, тогаш правата која минува низ центарот на Предлошка:Мпром и ја сече Предлошка:Мпром, го прави тоа во точки кои се симетрични во однос на Предлошка:Мпром.

Тоа значи дека, ако правата е продолжен дијаметар на Предлошка:Мпром, тогаш пресеците со Предлошка:Мпром се хармониски конјугирани.

Тетради на Галуа

Во геометријата на Галоа над полето Галоа GF(q) правата има q + 1 точки, каде што ∞ = (1,0). Во оваа линија четири точки формираат хармонска тетрада кога две хармонично ги делат другите. Условот

$(c,d;a,b)=-1,\text{ еквивалентно }2(cd+ab)=(c+d)(a+b),$

ги карактеризира хармоничните тетради. Вниманието на овие тетради го навело Жан Дидоне до неговото разграничување на некои случајни изоморфизми на проективните линеарни групи Предлошка:Мат за Предлошка:Мат .

Ако Предлошка:Мат и дадени се Предлошка:Мпром и Предлошка:Мпром, тогаш Предлошка:Мпром е хармониски конјугирана на самата себе.

Итерирани проективни хармонични конјугати и златен однос

Нека Предлошка:Мат се три различни точки на реалната проективна права. Разгледајте ја бесконечната низа од точки Предлошка:Мпром, каде што Предлошка:Мпром е хармониски конјугирана на Предлошка:Мат во однос на Предлошка:Мат, за Предлошка:Мат.Оваа низа е конвергентна.

За конечна граница Предлошка:Мпром имаме

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{P_{n+1}P}{P_{n}P}=\mathrm{\Phi }-2=-{\mathrm{\Phi }}^{-2}=-\frac{3-\sqrt{5}}{2},$

каде $\mathrm{\Phi }=\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})$ е златниот пресек, т.e. $P_{n+1}P\approx -{\mathrm{\Phi }}^{-2}{P}_{n}P$ за голем Предлошка:Мпром. Граничната вредност кон бесконечност е

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{P_{n+2}{P}_{n+1}}{P_{n+1}{P}_n}=-1-\mathrm{\Phi }=-{\mathrm{\Phi }}^2.$

За доказ се зема проективниот изоморфизам:

$f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$

каде

$f((-1{)}^n{\mathrm{\Phi }}^{2n})=P_n.$