Златен пресек

Златниот правоаголник (во розова боја) со подолгата страна a и пократката страна b, кога е поставена во прилог на квадратот на должината а, произведува геометриска сличност на златниот правоаголник со подолгата страна a + b и пократката страна a. Ова го илустрира односот на ${\displaystyle }$.

Во математиката две величини се во златниот однос ако соодносот помеѓу двете величини е еднаков на збирот на тие две вредности, наспроти повисоки вредности. Сликата од десно ја илустрира геометриски односи. Алгебарски, за количините a и b и a > b > 0,

$\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}\stackrel{\text{def}}{=}\phi ,$

грчката буква фи ($\phi$ ili $\varphi$) е константна. Неговата вредност е:

$\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1,6180339887\dots .$

Златниот однос се нарекува и  златен пресек (латински: sectio aurea).. Други имиња вклучуваат екстремен однос, среден пресек, златен сразмер, златен број. божествен пресек. Тоа е однос во кој има примена на предмети, слики итн. Предизвикува особено естетско доживување – допаѓање, па оттука е и името „Божествен пресек“.

Златниот однос се појавува во одредени модели во природата, вклучувајќи phyllotaxis (спирално сортирање листови) и други делови на растенија.

Математичарите уште во времето на Евклид ги изучувале својствата на златниот однос, вклучувајќи ја и појавата на мерење на правилен петаголник и на златниот правоаголник, што всушност може да се подели во квадрат и уште еден правоаголник на истиот однос.

Пресметка

Две величини a и b се во златниот однос φ ако

$\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}=\phi .$

Еден начин да се најде вредноста на φ е со решавање на левата страна. Со упростување на прекршокот и со замена во b/a = 1/φ,

$\frac{a+b}{a}=1+\frac{b}{a}=1+\frac{1}{\phi }.$

Затоа,

$1+\frac{1}{\phi }=\phi .$

Множење со φ дава

$\phi +1={\phi }^2$

што може да се изрази како

${\phi }^2-\phi -1=0.$

Со користење на формулата за решавање на  квадратни равенки, се добиваат две решенија:

$\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1,6180339887\dots$

и

$\phi =\frac{1-\sqrt{5}}{2}=-0,6180339887\dots$

Бидејќи φ е однос меѓу двете позитивни вредности  φ е секогаш позитивна вредност:

$\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1,6180339887\dots$ .

Алгебра

Ирационалнот

Златниот сооднос е ирационален број. Подолу се два кратки докази на ирационалната:

Контрадикција на израз во најниска вредност

Ако φ е рационален број, тогаш би бил размер на страните на правоаголници со цели страни (правоаголник што опфаќа цел дијаграм). Но, исто така, би бил и односна целобројните страни на помалиот правоаголник, (на десната страна на дијаграмот) добиени со бришење на квадратот. Редоследот на намалувањето на целобројните вредности на должината на страната е формирана со бришење на квадратот и не може да трае вечно, бидејќи имаат долна граница, затоа, φ не може да биде рационален.

Да се потсетиме дека:

целината е подолг дел плус пократок дел;

целината е подолг дел, како што е подолг дел на пократок дел.

Ако некој број се нарекува n а подолгиот дел m, тогаш втората изјава станува:

n спроти m , исто како што и m спроти n − m,

или, во алгебрата:

$\frac{n}{m}=\frac{m}{n-m}.(*)$

Да се каже дека φ е рационално значи дека φ односите n/m каде n и m се integers. Ние може да се каже дека n/m имаат најниски вредности, и дека n и m се позитивни броеви. Но, ако дел n/m ниските вредности, тогаш идентитетот на белешки со (*) до врвот равенката m/(n − m), кој продолжува да имаат најниски вредности. Оваа контрадикција, која произлегува од тврдат дека φ е рационално.

Извод од ирационалноста на бројот √5

Уште еден краток доказ — можеби и повеќе познати — каде што златната ирационалност на односот се користи како затвореност кај  рационалните броеви, собирање и множење. Ако ${\displaystyle }$ е рационално, и ${\displaystyle }$ е рационално, што е спроти фактите дека квадратниот корен од не квадратен природен број е ирационален.

Најмал полином

Златниот сооднос е, исто така, алгебарски број, па дури и цел алгебарски број. Најмалиот полином гласи на следниот начин:

$x^2-x-1.$

Поради членот со степен 2, овој полином всушност има два корени, и другата вреденост е роднина на златниот сооднос.

Роднина на златниот пресек

Други корени од најмалите полиноми x -² - x - 1

$-\frac{1}{\phi }=1-\phi =\frac{1-\sqrt{5}}{2}=-0.6180339887\dots .$

Апсолутната вредност на оваа количина (≈ 0.618) одговара на должината на односите во обратна насока (должината на пократката страна во однос на подолгата, b/a), е понекогаш познат под името роднина на златниот пресек. Се означува со голема буква Фи ($\mathrm{\Phi }$):

$\mathrm{\Phi }=\frac{1}{\phi }={\phi }^{-1}=0.6180339887\dots .$

Поврзано

• Златен правоаголник
• Сребрен пресек