Сферичен дизајн
Сферичен дизајн, дел од теоријата на комбинаторниот дизајн во математиката, е конечно множество од N точки на d -димензионалната единица хиперсфера S d така што просечната вредност на кој било полином f од степен t или помал во множеството е еднаква на просекот вредност на f на целата сфера (односно, интегралот на f над S d поделен со плоштината или мерката на S d ). Таквото множество често се нарекува и сферичен t - дизајн за да се означела вредноста на t, што е основен параметар. Концептот на сферичен дизајн се должи на Делсарт, Геталс и Зајдел, Предлошка:Sfn иако овие објекти порано биле сфатени како посебни примери на кубатурни формули.
Сферичните дизајни можат да бидат од вредност во теоријата на апроксимација, во статистиката за експериментален дизајн, во комбинаториката и во геометријата. Главниот проблем е да се најдат примери, дадени d и t, кои не се премногу големи; сепак, може да биде тешко да се дојде до такви примери. Сферичните т-дизајни, исто така, неодамна биле присвоени во квантната механика во форма на квантни т-дизајни со различни апликации во теоријата на квантната информација и квантното пресметување.
Постоење на сферични дизајни
Постоењето и структурата на сферични дизајни на кругот беа проучени во длабочина од Хонг. Предлошка:Sfn Набргу потоа, Сејмур и Заславски Предлошка:Sfn докажале дека такви дизајни постојат од сите доволно големи димензии; односно, дадени позитивни цели броеви d и t, постои број N ( d, t ) таков што за секој N ≥ N ( d, t ) постои сферичен t -дизајн на N точки во димензија d. Сепак, нивниот доказ не дал идеја за тоа колку е голем N ( d, t ).
Мимура конструктивно нашол услови во однос на бројот на точки и димензијата што го карактеризираат токму кога постојат сферични 2-дизајн. Колекциите на рамноаголни линии со максимална големина (до идентификација на линиите како антиподални точки на сферата) се примери на сферични 5-дизајни со минимална големина. Постојат многу спорадични мали сферични дизајни; многу од нив биле поврзани со конечни групни дејства на сферата.
Во 2013 година, Бондаренко, Радченко и Виазовска Предлошка:Sfn ја добиле асимптотската горна граница за сите позитивни цели броеви d и т . Ова асимптотички се совпаѓала со долната граница дадена првично од Делсарт, Геталс и Зајдел. Вредноста на C d засега е непозната, додека точните вредности на се познати во релативно малку случаи.
Прикажани се докази кои сугерираат дека, во три димензии, сферични
1-дизајни со N точки постојат ако N >= 2 (ова е познато);
2-дизајни со N точки постојат ако N = 4 или >= 6 (ова е познато);
3-дизајни со N точки постојат ако N = 6, 8, >= 10;
4-дизајни со N точки постојат ако N = 12, 14 >= 20;
5-дизајни со N точки постојат ако N = 12, 16, 18, 20 >= 22 ;
6-дизајни со N точки постојат ако N = 24 , 26, >= 28 ;
7-дизајни со N точки постојат ако N = 24 , 30, 32, 34, >= 36 ;
8-дизајни со N точки постојат ако N = 36 , 40, 42, >= 44 ;
9-дизајни со N точки постојат ако N = 48 , 50, 52, >= 54 ;
10-дизајни со N точки постојат ако N = 60 , 62, >= 64 ;
11-дизајни со N точки постојат ако N = 70 , 72, >= 74 ;
12-дизајни со N точки постојат ако N = 84 , >= 86 .
Поврзано
Надворешни врски
- Сферични т-дизајни за различни вредности на N и t може да се најдат претходно пресметани на веб-страницата на Нил Слоун .