Тетивен четириаголник

Сл. 1 Општ случај на тетивен четириаголник

Тетивен четириаголник — четириаголник околу кој може да се опише кружница. Со други зборови, четириаголникот е тетивен ако сите негови темиња се точки на една кружница. Името тетивен доаѓа од тоа што секоја страна на таков четириаголник е тетива во тој круг.

Тетивни четириаголници се: квадрат, правоаголник и рамнокрак трапез. Делтоидот е тетивен ако има два прави агли.

Четириаголници за кои со сигурност знаеме дека околу нив не може да се опишат кружници (не се тетивни) се паралелограмот и ромбот.

Основно својство на тетивен четириаголник:

Четириаголникот е тетивен ако и само ако симетралите на неговите страни се сечат во една точка.

Исто така важна е особината:

Четириаголник е тетивен ако и само ако збирот на секои два спротивни агли е еднаков на 180° (спротивните агли се суплементни).

Сл. 2 Односи меѓу аглите во тетивен четириаголник

$\alpha +\gamma =180^{\circ }$

$\beta +\delta =180^{\circ }$

што може да се види од сликата на која се прикажани централниот и периферниот агол над дијагоналата. (сл. 2) Од ова произлегува дека секој четириаголник што има два спротивни прави агли е тетивен.

Четириаголник во кој може истовремено да се впише и опише кружница се нарекува тангентно-тетивен четириаголник или двоцентричен четириаголник.

Сл. 3 примери

Некои својства на тетивниот четириаголник

Површината на тетивен четириаголник со страни $a,b,c,d$ може да се изрази со помош на полуобемот $s$, при што

$s=\frac{a+b+c+d}{2}$

со формула наречена Брамагуптина формула:

$P=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

или со формулата во која се појавуваат страните на четириаголникот и полупречникот на опишаната кружница $R$

$P=\frac{1}{4R}\sqrt{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}$ .

Ако дијагоналите на овој четириаголник се $e$ и $f$ (сл. 1), тогаш површината може да се изрази со формулите

$P=\frac{e\cdot (ab+cd)}{4R}=\frac{f\cdot (ad+bc)}{4R}$ ,

каде дијагоналите се пресметуваат со формулите

$e=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}$ и $f=\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}}$ .

Дијагоналите на тетивниот четириаголник се сечат во точка $P$ (сл. 1), а односот помеѓу деловите на дијагоналата се изразува со формулата $\overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot \overline{DA}=\overline{AC}\cdot \overline{BD}$ .

Птоломејова теорема

Ако $a,b,c,d$ се страниците, а $e$ и $f$ дијагоналите на тетивниот четириаголник, тогаш е

$ef=ac+bd$ .

Поврзано

• Тангентен четириаголник
• Тетивно-тангентен четириаголник