Брамагуптина формула

Брамагуптина формула — формула која се користи за да се најде плоштината на кој било тетивен четириаголник (оној чии темиња лежат на една кружница) преку на должините на неговите страни. Воопштената верзија на оваа формула (Бретшнајдеровата формула) може да се користи со нететивни четириаголници.

Хероновата формула може да се смета како потслучај на Брамагуптината формула.

Формула

Оваа формула ја дава плоштината Предлошка:Мат на тетивен четириаголник чии страни имаат должина Предлошка:Мат, Предлошка:Мат, Предлошка:Мат, Предлошка:Мат како

$K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

каде што Предлошка:Мат, полупериметарот, е дефиниран со

$s=\frac{a+b+c+d}{2}.$

Оваа формула ја обопштува Хероновата формула за плоштина на триаголник. Триаголникот може да се смета како четириаголник кај кој една страна има должина нула. Од оваа перспектива, кога Предлошка:Мат се приближува кон нула, тетивниот четириаголник конвергира кон тетивен триаголник (сите триаголници се тетивени), а Брамагуптината формула се поедноставува со Хероновата формула.

Ако полупериметарот не се користи, Брамагуптината формула е

$K=\frac{1}{4}\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}.$

Друга еквивалентна верзија е

$K=\frac{\sqrt{(a^2+b^2+c^2+d^2{)}^2+8abcd-2(a^4+b^4+c^4+d^4)}}{4}\cdot$

Доказ

Дијаграм за референца

Тригонометриски доказ

Овде се користат ознаките на сликата десно. Плоштината Предлошка:Мат на тетивниот четириаголник е еднаква на збирот на плоштините од Предлошка:Мат и Предлошка:Мат :

$K=\frac{1}{2}pq\sin A+\frac{1}{2}rs\sin C.$

Но, бидејќи Предлошка:Мат е тетивен четириаголник, Предлошка:Мат . Оттука Предлошка:Мат. Затоа,

$K=\frac{1}{2}pq\sin A+\frac{1}{2}rs\sin A$

$K^2=\frac{1}{4}(pq+rs{)}^2{\sin }^{2}A$

$4K^2=(pq+rs{)}^2(1-{\cos }^{2}A)$

(користејќи го тригонометрискиот идентитет )

Решавајќи ја равенката по заедничката страна Предлошка:Мат, во Предлошка:Мат и Предлошка:Мат, косинусната теорема дава

$p^2+q^2-2pq\cos A=r^2+s^2-2rs\cos C.$

Заменувајќи Предлошка:Мат (бидејќи аглите Предлошка:Мат и Предлошка:Мат се суплементарни ) и преуредувајќи ја равенката, имаме

$2(pq+rs)\cos A=p^2+q^2-r^2-s^2.$

Заменувајќи го ова во равенката за плоштината, се добива

$4K^2=(pq+rs{)}^2-\frac{1}{4}(p^2+q^2-r^2-s^2{)}^2$

$16K^2=4(pq+rs{)}^2-(p^2+q^2-r^2-s^2{)}^2.$

Десната страна има облик Предлошка:Мат и затоа равенката може да се запише како

$[2(pq+rs))-p^2-q^2+r^2+s^2][2(pq+rs)+p^2+q^2-r^2-s^2]$

која после преуредување на членовите во квадратните загради станува

$16K^2=[(r+s{)}^2-(p-q{)}^2][(p+q{)}^2-(r-s{)}^2]$

Последниот израз може да се разложи на множители

$16K^2=(q+r+s-p)(p+r+s-q)(p+q+s-r)(p+q+r-s).$

Со воведување на полупериметарот Предлошка:Мат, имаме

$16K^2=16(S-p)(S-q)(S-r)(S-s).$

Земајќи го квадратниот корен, добиваме

$K=\sqrt{(S-p)(S-q)(S-r)(S-s)}.$

Нетригонометриски доказ

Постои алтернативен, нетригонометриски доказ во кој се користат две примени на формулата за плоштина на триаголник на Херон на слични триаголници.

Проширување на нециклични четириаголници

Во случај на нететивни четириаголници, Брамагуптината формула може да се прошири со разгледување на мерките на два спротивни агла на четириаголникот:

каде Предлошка:Мат е половина од збирот на кои било два спротивни агла. (Изборот на парот од противположни агли е нерелевантен: ако се земат другите два агли, половина од нивниот збир е Предлошка:Мат. Бидејќи Предлошка:Мат, имаме Предлошка:Мат.) Оваа поопшта формула е позната како Бретшнајдерова формула .

Тоа е својство на тетивните четириаголници (и на крајот, на впишаните агли ) дека збирот на два спротивни агла на четириаголник е 180°. Следствено, во случај на впишан четириаголник, Предлошка:Мат е 90°, од каде членот

$abcd{\cos }^2\theta =abcd{\cos }^2\left(90^{\circ }\right)=abcd\cdot 0=0,$

и се добива основната форма на Брамагуптината формула. Од последната равенка произлегува дека плоштината на тетивниот четириаголник е максималната можна плоштина за кој било четириаголник со дадени должини на страните.

Поврзана формула, која била докажана од Кулиџ, исто така ја дава плоштината на општ конвексен четириаголник. Таа гласи

$K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\frac{1}{4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}$

каде што Предлошка:Мат и Предлошка:Мат се должините на дијагоналите на четириаголникот. Во тетивен четириаголник, Предлошка:Мат според Птоломејовата теорема, а Кулиџоцата формула се сведува на Брамагуптината формула.

Поврзани теореми

• Хероновата формула за плоштина на триаголник е посебен случај добиен со земањедека Предлошка:Мат .
• Односот помеѓу општата и проширената форма на Брамагуптината формула е сличен на начинот на косинусната теорема ја проширува Питагоровата теорема .
• Постојат сè повеќе комплицирани формули со затворена форма за областа на општите многуаголници на круговите, како што е опишано од Mејли и соработниците.