Секанс

Секанс – тригонометриска функција еднаква на односот помеѓу хипотенузата и катетата што прилежи кон дадениот агол.

Дефиниција

Дефиницијата гласи:

$\sec x=\frac{1}{\cos x}$

Врската со косеканс е

$\sec x=\mathrm{cosec}(\pi /2-x)$

додека Питагоровиот идентитет, идентитет заснован на Питагоровата теорема, која ги поврзува тригонометриските функции е

$1+{\tan }^2(\alpha )={\sec }^2(\alpha )$

Како и останатите тригонометриски функции и секансот претставува однос меѓу две страни на правоаголен триаголник. Секанс е однос на хипотенузата и налегнатата катета.

$\sec \theta =\frac{h}{b}$ Тригонометриски триаголник

На тригонометрискиот круг вредноста на секансот е еднаква на големината на следната должина

$\sec \theta =\overline{OB}$ Првиот квадрант од единична кружница

Некои карактеристични вредности

степени	0°	30°	45°	60°	90°
радијани	0	$\pi /6$	$\pi /4$	$\pi /3$	$\pi /2$
$\sec \theta$	$1$	$\frac{2}{3}\sqrt{3}$	$\sqrt{2}$	$2$	$\pm \mathrm{\infty }$

Претставување на функцијата

Претставување на функцијата во вид на Тејлоров ред во околината на точката $x=0$

$\sec x=1+\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}+\frac{61x^6}{720}+\cdots \text{za}|x|<\frac{\pi }{2}$

Односно обопштено

$\sec x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{E}_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n}\text{ за }|x|<\frac{\pi }{2}$

каде $E_k$ во формулата е Ојлерови броеви.

Исто така можно е функцијата да се претстави во следниот вид:

$\sec (x)=\pi \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k(8k+4)}{(2k+1{)}^2{\pi }^2-4x^2}\text{ za }|x|<\frac{\pi }{2}$

Особини на функцијата

Со детална анализа може да се одредат карактеристичните особини на функцијата.

• Дефинициона област на функцијата:

функција е дефинирана во множеството реални броеви $ℝ$, освен во точките каде има прекини, а кои се преброиви

$-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty };x\ne (n+\frac{1}{2})\cdot \pi ;n\in \mathbb{Z}$

• Област на вредностите на функцијата:

функцијата зема вредности во опсег на реалните броев, освен во областа -1 до 1

$-\mathrm{\infty }<\sec (x)\le -1\cup 1\le \sec (x)<+\mathrm{\infty }$

• Парност

функција е парна

$\sec (-x)=\sec (x)$

• Периодичност

функцијата е периодична со основна периода 2π

$\sec (x+2\pi )=\sec (x)$

• Асимптоти

функцијата има вертикални асимптоти во точките

$x=(n+\frac{1}{2})\cdot \pi ;n\in \mathbb{Z}$

функцијата нема хоризонтални и коси асимптоти

• Нули на функцијата

функцијата нема нули

• Монотоност на функцијата
• Екстреми

нема глобален екстрем

локален минимум

$\sec (2n\cdot \pi )=1;n\in \mathbb{Z}$

локален максимум

$\sec ((2n+1)\cdot \pi )=-1;n\in \mathbb{Z}$

• Конвексност и конкавност на функцијата

функција е конвексна во интервалот

$-\pi /2+2n\pi <x<\pi /2+2n\pi ;n\in \mathbb{Z}$

функцијата е конкавна во интервалот

$\pi /2+2n\pi <x<3\pi /2+2n\pi ;n\in \mathbb{Z}$

• Превојни точки

функцијата нема превојни точки

Извод од функцијата

Првиот извод од функцијата е

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sec (x)=\sec (x)\cdot \tan (x)=\frac{{\sec }^2(x)}{\mathrm{cosec}(x)}$

Интеграл

Неодредениот интеграл на функцијата е

$\int \sec (x)\mathrm{d}x=\ln \left|\frac{1+\sin (x)}{\cos (x)}\right|=\ln |\sec (x)+\tan (x)|$

Историја

Скратеницата sec првпат се појавува во 1626 година во книгата на Албер Жерар за тригонометрија.

Надворешни врски

• Функцијата секанс на wolfram.com

Литература

• Бронштајн, Семендјајев, Справочник по математике дља инженеров и учахчихсја втузов, Москва, »Наука«, 1980