Диференцијално сметање

Извод на разни точки на диференцијалната функција

Диференцијално сметање — една од најважните дисциплини на математичката анализа. Основната „намена“ на диференцијалното сметање е испитувањето на својствата на функциите, како на самите функции, така и на широка палета други појави поврзани со нив. Покрај својата чиста, математичка, примена, диференцијалното сметање има особена улога и во други науки како физиката или економската статистика итн.

Забелешка: во оваа статија ќе биде разработено само диференцијалното сметање на реалните функции од една променлива.

Начела на диференцијалното сметање

Основен поим во диференцијалното сметање е поимот извод (или деривација) на функција. Строго математички, изводот се дефинира како однос на нараснувањето на вредноста на функцијата и нараснувањето на аргументот, кога нараснувањето на аргументот тежи кон нула. Од самата дефиниција на изводот следи дека диференцијалното сметање се сведува на пресметки со гранични вредности (лимеси). Нека $f(x)$ е некоја функција и нека со $\mathrm{\Delta }x$ го означиме нараснувањето на аргументот на функцијата, а со $\mathrm{\Delta }y$ нараснувањето на вредноста на самата функција. Тогаш со граничната вредност, т.е. лимесот:

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$

е зададен изводот на функцијата $f(x)$. Со мала трансформација, изводот на функцијата може да се дефинира во конкретна точка, да речеме $x_0$. Тогаш, извод на функцијата $f(x)$ во точката $x_0$ е изразот:

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}$

кој пак со други соодветни трансформации може да се доведе до следниов, практичен и можеби најчест облик:

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

Така, со помош на горните три варијации на дефиницијата на извод на функција, за произволна функција може да се пресмета конкретно за дадена точка, или да се изнајде негова „формула“, односно да се изнајде негов општ облик за секоја точка од дефиниционата област на функцијата.

Постапката, односно операцијата „барање извод“ се нарекува диференцирање.

Доколку за функцијата $f(x)$ постои $f^{\prime }(x_0)$, тогаш велиме дека $f(x)$ е диференцијабилна во точката $x_0$. Ако постои $f^{\prime }(x)$ за секое $x$ од даден интервал (подмножество од множеството реални броеви), тогаш велиме дека $f(x)$ е диференцијабилна на тој интервал.

Ако изводот на една функција е самиот непрекинат како функција, тогаш функцијата се вика непрекинато-диференцијабилна или глатка функција.

Ознака

Најчеста ознака на изводот на функцијата $f(x)$ е $f^{\prime }(x)$, односно:

$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

Оваа ознака, која прв ја вовел и користел Жозеф Луј Лагранж, е речиси унифицирана и стандардна во рамките на математиката.

Напомена: изразот $f^{\prime }(x)$ се чита: „еф-прим-од-икс“.

Но сè уште во математичката, а особено често во нематематичката литература може да се сретне и ознаката која ја користел Готфрид Вилхелм Лајбниц:

$\frac{df(x)}{dy}=\frac{df}{dx}(x)$

односно, важи:

$f^{\prime }(x_0)=\frac{df(x_0)}{dx}=\frac{df}{dx}(x_0)$

Покрај овие, се среќаваат и други ознаки, но спорадично.

Примери

• Пример 1: Нека $f(x)$ е функција зададена со:

$f(x)=x^2$

Треба да го пресметаме изводот во произволна точка $x_0$. Имаме:

$f^{\prime }(x_0)$	$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
	$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{x^2-x_0^2}{x-x_0}$
	$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{(x-x_0)(x+x_0)}{x-x_0}$
	$=\underset{x\to x_0}{\lim }(x+x_0)=2x_0$

Значи:

$(x^2{)}^{\prime }=2x$

• Пример 2: нека $g(x)=\sqrt{x}$. Треба да го пресметаме изводот во произволна точка $x_0$ од дефиниционата област на функцијата $g(x)$. Јасно дека мора $x_0\ge 0$. Имаме:

$f^{\prime }(x_0)$	$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}$
	$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x_0+\mathrm{\Delta }x}-\sqrt{x_0}}{\mathrm{\Delta }x}$
	$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }(\frac{\sqrt{x_0+\mathrm{\Delta }x}-\sqrt{x_0}}{\mathrm{\Delta }x}\cdot \frac{\sqrt{x_0+\mathrm{\Delta }x}+\sqrt{x_0}}{\sqrt{x_0+\mathrm{\Delta }x}+\sqrt{x_0}})$
	$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{x_0+\mathrm{\Delta }x-x_0}{\mathrm{\Delta }x(\sqrt{x_0+\mathrm{\Delta }x}+\sqrt{x_0})}$
	$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x(\sqrt{x_0+\mathrm{\Delta }x}+\sqrt{x_0})}$
	$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x_0+\mathrm{\Delta }x}+\sqrt{x_0}}$
	$=\frac{1}{\sqrt{x_0}+\sqrt{x_0}}$
	$=\frac{1}{2\sqrt{x_0}}$

Значи:

$(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

Толкување на изводот

Основното значење на изводот се поврзува со аголот кој тангентата во фиксна точка на дадена крива го зафаќа со апсцисата ($x$-оската). Под тангента ќе подразбираме права која ја допира кривата во една точка:

Податотека:Tangenta izvod.png

Слика 1: тангента на кривата $y=f(x)$ во точката $(x,f(x))$

Дополнително под секанта ќе подразбираме права која ја сече кривата во најмалку две точки:

Податотека:Sekanta izvod.png

Слика 2: секанта на кривата $y=f(x)$ во точките $(x,f(x))$ и $(x+\mathrm{\Delta }x,f(x+\mathrm{\Delta }x))$

Иако навидум просто, конструкцијата на тангента на произволна крива не секогаш е едноставна работа. Затоа како практична се покажува постапката тангентата да се разгледува како граничен случај на секанта, кога точките на пресек помеѓу секантата и кривата „тежат“ (се стремат, се приближуваат) една кон друга.

Нека е дадена крива $y=f(x)$, нека $x$ е фиксна точка од дефиниционата област на функцијата $f(x)$ и нека избереме точки $x+\mathrm{\Delta }x$, $x+\mathrm{\Delta }{x}_1$, $x+\mathrm{\Delta }{x}_2$, па сè до $x+\mathrm{\Delta }{x}_n$, така што првата точка ($x+\mathrm{\Delta }x$) е „најдалеку“ од $x$, а секоја наредна е сè „поблиску“. Ќе се потпреме на интуитивната претстава околу тоа што значи една точка да ѝ се приближува на друга точка во рамнината. Ќе повлечеме секанти на кривата низ точката $x$ и секоја од избраните точки:

Податотека:Tangenta priblizuvanje.png

Слика 3: поставеност на секантите при приближување на пресечните точки

Од изборот на точките $x+\mathrm{\Delta }{x}_i$, $i=1,2,...,n$ е јасно дека:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(x+\mathrm{\Delta }{x}_n)=x$

односно:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{\Delta }{x}_n=0$

Значи наместо низа вредности $\mathrm{\Delta }{x}_n$ може да избереме единствена вредност $\mathrm{\Delta }x$ таква што $\mathrm{\Delta }x\to 0$

Секантата зафаќа некој агол $\alpha$ со $x$-оската. Тогаш за овој агол, според дефиницијата на тангенсот, точно е:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{(x+\mathrm{\Delta }x)-x}=\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

Меѓутоа горе претставениот агол $\alpha$ е агол на секантата, а не на тангентата! Аголот $\varphi$, кој тангентата го зафаќа со $x$-оската е граничен случај од аголот $\alpha$, односно при претставувањето на овој агол мора да земеме предвид дека $\mathrm{\Delta }x\to 0$. Така за аголот којшто тангентата на кривата $y=f(x)$ во точката $(x,f(x))$ го зафаќа со $x$-оската добиваме:

$\mathrm{tg}\varphi =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}=f^{\prime }(x)$

Имајќи го предвид значењето на тангенсот од аголот кој права го зафаќа со $x$-оската, може да ја запишеме равенката на тангентата во произволна точка од кривата. Имено, согласно експлицитниот вид на равенка на права во рамнина:

$y=x\cdot \mathrm{tg}\varphi +n$

се добива дека равенката на тангентата во точка $(x,f(x))$ гласи:

$y=x{f}^{\prime }(x)+n$

Доколку точката на допир ја означиме со $(x_0,y_0)$, т.е. $f(x_0)=y_0$, согласно равенката на права низ фиксна точка, за тангентата имаме:

$y-y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$

т.е.

$y=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+y_0$

Извод од повисок ред

Изводот, како што го претставивме до сега, се нарекува прв извод на функцијата, или извод од прв ред. Бидејќи и по првото диференцирање, добиениот израз е повторно функција, тогаш и овој израз може да се диференцира. Така добиениот израз (по второто диференцирање) се нарекува втор извод на функцијата или извод од втор ред:

$(f^{\prime }(x){)}^{\prime }=f^{″}(x)=\frac{d^{2}f}{d{x}^2}$

(читај: „еф-секундум-од-икс“)

Потоа и овој израз може да се диференцира:

$(f^{″}(x){)}^{\prime }=f^{‴}(x)=\frac{d^{3}f}{d{x}^3}$

а добиениот израз се нарекува трет извод на функцијата. n-тиот извод на функцијата се бележи со:

$f^{(n)}(x)=\frac{d^{n}f}{d{x}^n}$

За функцијата $f(x)$ ќе речеме дека е $k$ -пати диференцијабилна ако постои природен број $k$ таков што:

$f^{(k)}(x)\ne 0$,

но за секој $j>k$:

$f^{(j)}(x)=0$

Ако пак не постои таков природен број $k$, тогаш се вели дека функцијата е бесконечно диференцијабилна на својата дефинициона област.

Основни правила за диференцирање

Нека $f$ и $g$ се произволни функции дефинирани над некое множество $X$ така што $g(x)\ne 0,(\mathrm{\forall }x\in X)$ и нека $c\in X$ е произволен број (константа). Основните правила за диференцирање се следниве:

1. Извод од збир / разлика:

$(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$

$(f-g{)}^{\prime }=f^{\prime }-g^{\prime }$

2. Извод на функција помножена со константа:

$(c\cdot f{)}^{\prime }=c\cdot f^{\prime }$

Напомена: правилата 1. и 2., кои воедно се и својства на операцијата диференцирање се нарекуваат адитивност и хомогеност. Следствено за операцијата диференцирање, заради тоа што таа ги има наведените својства, се вели дека е линеарна операција (или линеарно пресликување).

3. Извод од производ на функции:

$(f\cdot g{)}^{\prime }=f^{\prime }\cdot g+f\cdot g^{\prime }$

4. Извод од количник на функции:

$(\frac{f}{g}{)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }\cdot g-f\cdot g^{\prime }}{g^2}$, каде секако $g(x)\ne 0,(\mathrm{\forall }x\in X)$

5. Извод од состав или композиција на функции (сложена функција):

$(f(g){)}^{\prime }=f^{\prime }(g)\cdot g^{\prime }$

6. Извод од константна функција: Ако $f(x)=const.$ тогаш:

$f^{\prime }(x)=0$

Изводи на основните функции

Ќе ги запишеме изводите на неколкуте најосновни функции. Имено, нивните изводи се пресметуваат според дефиницијата напишана погоре, додека пак изводот на произволна функција се пресметува со помош на правилата за диференцирање и изводите на основните функции.

Степенска функција

Степенска функција се нарекува функцијата од облик $f(x)=x^p,p\in ℝ$. Изводот на оваа функција е:

$(x^p{)}^{\prime }=p{x}^{p-1}$

Специјално:

За $p=\frac{1}{2}$ функцијата е од облик $x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$ и изводот при тоа е:

$(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

За $p=1$ функцијата е од облик $x^1=x$ и изводот при тоа е:

$(x{)}^{\prime }=1$

Експоненцијална функција

Предлошка:Главна Експоненцијална функција се нарекува функцијата од облик $f(x)=a^x$ каде што $a>0,a\ne 1,x\in ℝ$. Изводот на експоненцијалната функција е:

$(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$

каде $\ln a$ е природен логаритам од $a$.

Специјално:

За $a=e$, каде $e=2,718281...$ е Неперовиот број (основата на природниот логаритам), функцијата е од облик $e^x$, а изводот е:

$(e^x{)}^{\prime }=e^x$

Воедно, функцијата $e^x$ е единствена функција која има извод еднаков на самата себе.

Логаритамска функција

Логаритамска функција се нарекува функцијата од облик $f(x)={\log }_{a}x$ каде што $a>0,a\ne 1,x>0$. Изводот на логаритамската функција е:

$({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}\frac{1}{\ln a}$

Специјално:

За $a=e$, т.е. за ${\log }_{e}x=\ln x$ изводот е:

$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$

Тригонометриски функции

Предлошка:Главна Основни тригонометриски функции се: синус, косинус, тангенс и котангенс со ознаки: $\sin x,\cos x,\mathrm{tg}x$ и $\mathrm{ctg}x$ соодветно. Сите се дефинирани над целото множество реални броеви. Изводите им се следниве:

$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$

$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$

$(\mathrm{tg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$

$(\mathrm{ctg}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$

Инверзни тригонометриски функции

Под одредени услови (кои овде нема да ги предочиме) може да се дефинираат функции инверзни на тригонометриските, т.н. аркус функции. Така инверзната функција на синусот се нарекува аркус синус ($\arcsin x$); на косинусот - аркус косинус ($\arccos x$); на тангенсот - аркус тангенс ($\mathrm{arctg}x$) и на котангенсот - аркус котангенс ($\mathrm{arcctg}x$).

Понекогаш се среќаваат и следниве ознаки:

${\sin }^{-1}x=\arcsin x$

${\cos }^{-1}x=\arccos x$

${\mathrm{tg}}^{-1}x=\mathrm{arctg}x$

${\mathrm{ctg}}^{-1}x=\mathrm{arcctg}x$

Изводите на инверзните тригонометриски функции се следниве:

$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$(\mathrm{arctg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$

$(\mathrm{arcctg}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$

Примери

• Пример 3: да се пресмета изводот на функцијата:

$f(x)=2x^3+x^2-4x+11$

Имаме:

$f^{\prime }(x)=(2x^3+x^2-4x+11{)}^{\prime }=$

$=(2x^3{)}^{\prime }+(x^2{)}^{\prime }-(4x{)}^{\prime }+(11{)}^{\prime }=$

$=2\cdot (x^3{)}^{\prime }+(x^2{)}^{\prime }-4\cdot (x{)}^{\prime }+(11{)}^{\prime }=$

$=2\cdot 3x^2+2x-4\cdot 1+0$

$=6x^2+2x-4$

• Пример 4: да се пресмета изводот на функцијата:

$g(x)=\sin x^2$

Функцијата е сложена (напомена: функцијата е синус од икс-на-квадрат, значи квадратот е на иксот, а не на синусот!!!). Имаме:

$g^{\prime }(x)=(\sin x^2{)}^{\prime }=$

$=\cos x^2\cdot (x^2{)}^{\prime }=$

$=2x\cdot \cos x^2$

• Пример 5: да се пресмета изводот на функцијата:

$h(x)=x{e}^x$

Функцијата е производ на две функции: $x$ и $e^x$. Имаме:

$h^{\prime }(x)=(x{e}^x{)}^{\prime }=$

$=(x{)}^{\prime }\cdot e^x+x\cdot (e^x{)}^{\prime }=$

$=e^x+x\cdot e^x=$

$=(1+x)e^x$

• Пример 6: да се пресмета изводот на функцијата:

$f(x)=\frac{\ln x}{x}$

Функцијата е количник од две функции: $\ln x$ и $x$. Имаме:

$f^{\prime }(x)=(\frac{\ln x}{x}{)}^{\prime }=$

$=\frac{(\ln x{)}^{\prime }\cdot x-(\ln x)\cdot (x{)}^{\prime }}{x^2}=$

$=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-(\ln x)\cdot 1}{x^2}=$

$=\frac{1-\ln x}{x^2}$

Логаритамско диференцирање

Во одредени случаи диференцирањето не може да се изврши непосредно. Тоа пред сè важи за функциите од облик:

$h(x)=(f(x){)}^{g(x)}$

каде, согласно дефиницијата на експоненцијалната функција имаме: $f(x)>0,f(x)\ne 1$ за секој аргумент од дефиниционата област, додека самата функција $g(x)$ е диференцијабилна на целата дефинициона област.

Во ваквите случаи користиме некои својства на логаритмирањето за да го пресметаме изводот. Имено, за почеток го логаритмираме последното равенство и имаме:

$\ln h(x)=g(x)\cdot \ln f(x)$

Добиеното равенство го диференцираме. Напомена: левата страна ќе ја третираме како сложена функција. Следи:

$\frac{1}{h(x)}\cdot h^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)\cdot \ln f(x)+g(x)\cdot [\ln f(x){]}^{\prime }$

односно:

$\frac{h^{\prime }(x)}{h(x)}=g^{\prime }(x)\cdot \ln f(x)+g(x)\cdot \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$

Конечно, изразувајќи го $h^{\prime }(x)$, се добива:

$h^{\prime }(x)=h(x)\cdot [g^{\prime }(x)\cdot \ln f(x)+g(x)\cdot \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}]$

• Пример 7: да се пресмета изводот на функцијата

$f(x)=x^x$

Конкретно ја применуваме погорната постапка; логаритмираме, па следи:

$\ln f(x)=x\cdot \ln x$

Ова равенство го диференцираме:

$\frac{1}{f(x)}\cdot f^{\prime }(x)=(x{)}^{\prime }\cdot \ln x+x\cdot (\ln x{)}^{\prime }$

$\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\ln x+x\cdot \frac{1}{x}$

$f^{\prime }(x)=f(x)\cdot (\ln x+1)$

Имајќи предвид дека $f(x)=x^x$, конечно имаме:

$f^{\prime }(x)=x^x(\ln x+1)$

Извод од имплицитно зададена функција

Досега разгледувавме функции во кои вредноста на функцијата можеше „директно“ да се пресмета од произволно зададена вредност на променливата, односно вредноста на функцијата беше експлицитно („откриено“, „директно“) изразена. Овие функции се нарекуваат експлицитни функции.

Нека сега $f(x)$ е произволна (експлицитна) функција и нека означиме $y=f(x)$. Тогаш за $x$ велиме дека е независно променлива, додека за $y$ дека е зависно променлива. Ако односот меѓу зависната и независната променлива е изразен преку равенка во која и на левата и на десната страна има изрази кои ги содржат обете променливи, тогаш се вели дека функцијата $y=f(x)$ е зададена имплицитно („прикриено“). Таквите функции се нарекуваат имплицитни функции На пример функцијата:

$2x{y}^2=\sqrt{y}+5xy$

е пример за имплицитно зададена функција.

При диференцирање на имплицитните функции ги диференцираме двете страни на равенството и при тоа зависно променлива $y$ ја третираме како сложена функција, додека независно променливата $x$ ја третираме исто како и кај експлицитните функции.

• Пример 8: ќе ја диференцираме погорната функција. Имаме:

$2x{y}^2=\sqrt{y}+5xy$ $/({)}^{\prime }$

$2(x{y}^2{)}^{\prime }=(\sqrt{y}{)}^{\prime }+5(xy{)}^{\prime }$

$2[(x{)}^{\prime }{y}^2+x\cdot 2y(y{)}^{\prime }]=\frac{1}{2\sqrt{y}}\cdot (y{)}^{\prime }+5[(x{)}^{\prime }y+x(y{)}^{\prime }]$

Заради $x^{\prime }=1$, а целта на диференцирањето е да пресметаме $y^{\prime }$, заменуваме соодветно и се добива:

$2(y^2+2xy\cdot y^{\prime })=\frac{1}{2\sqrt{y}}\cdot y^{\prime }+5(y+x\cdot y^{\prime })$

$2y^2+4xy\cdot y^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{y}}\cdot y^{\prime }+5y+5x\cdot y^{\prime })$

Сега сите членови кои содржат $y^{\prime }$ ги префрламе на левата страна, а сите останати на десната. Така имаме:

$4xy\cdot y^{\prime }-\frac{1}{2\sqrt{y}}\cdot y^{\prime }-5x\cdot y^{\prime }=5y-2y^2$

$y^{\prime }\cdot (4xy-\frac{1}{2\sqrt{y}}-5x)=5y-2y^2$

$y^{\prime }=\frac{5y-2y^2}{4xy-\frac{1}{2\sqrt{y}}-5x}$

При што последното равенство го дава изводот на функцијата. Се забележува дека и самиот извод е исто така имплицитна функција.

Теореми за средна вредност

Теоремите за средна вредност се основните теореми на диференцијалното сметање. Општо, преку нив се опишува „однесувањето“ на непрекинатата функција. Сѐ на сѐ, тука се вклучени четири теореми: Теорема на Ферма, Теорема на Рол, Теорема на Лагранж и Теорема на Коши. Поконкретно, меѓутоа, под името Теорема за средна вредност е позната Лагранжовата теорема, додека под името Проширена или Обопштена теорема за средна вредност е позната Кошиевата теорема. Околу формулацијата, значењето и доказите на теоремите, видете ја статијата Теореми за средна вредност.

Поврзано

• Интегрално сметање
• Извод од производ
• Извод од количник
• Извод од состав
• Гранична вредност на функција
• Пресликување