Извод од количник

При диференцирање на количник на две функции важат построги критериуми околу постоењето на изводот, т.е. мора да бидат задоволени неколку суштински предуслови, пред сѐ функцијата која е во именителот да има вредност различна од нула во точката во која го пресметуваме изводот.

Како се бара извод од количник на две функции?

Формално, тврдењето е следново:

Нека $f$ и $g$ се реални функции определени на интервалот $P$ и диференцијабилни во точка $x_0\in P$ и нека, дополнително, $g(x_0)\ne 0$. Тогаш и нивниот количник $\frac{f}{g}$ е диференцијабилен во точката $x_0\in P$, и при тоа важи:

${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }(x_0)=\frac{f^{\prime }(x_0)g(x_0)-f(x_0)g^{\prime }(x_0)}{{(g(x_0))}^2}$

Ако двете функции се диференцијабилни во секоја точка од интервалот и уште $g$ е различна од нула во секоја точка, тогаш формално се бележи:

${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$

Доказ

Нека $f$ и $g$ се диференцијабилни во точка $x_0\in P$ и $g(x_0)\ne 0$. Тогаш:

$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ и

$g^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}$

Тогаш за изводот на количникот имаме:

${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\left(\frac{f}{g}\right)(x)-\left(\frac{f}{g}\right)(x_0)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }[\frac{1}{x-x_0}\cdot (\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{f(x_0)}{g(x_0)})]=$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }[\frac{1}{x-x_0}\cdot \frac{f(x)g(x_0)-f(x_0)g(x)}{g(x)g(x_0)}]=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{g(x)g(x_0)}\cdot \underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)g(x_0)-f(x_0)g(x)}{x-x_0}=$

$=\frac{1}{(g(x_0){)}^2}\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)g(x_0)-f(x_0)g(x)-g(x_0)f(x_0)+g(x_0)f(x_0)}{x-x_0}=$

$\frac{1}{(g(x_0){)}^2}[g(x_0)\cdot \underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-f(x_0)\cdot \underset{x\to x_0}{\lim }\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}]=$

$\frac{1}{(g(x_0){)}^2}(g(x_0)\cdot f^{\prime }(x_0)-f(x_0)\cdot g^{\prime }(x_0))=\frac{f^{\prime }(x_0)g(x_0)-f(x_0)g^{\prime }(x_0)}{{(g(x_0))}^2}$

Поврзано

• Диференцијално сметање
• Извод од производ
• Интегрално сметање
• Математичка анализа

Извори

Шекутковски, Никита Предлошка:Семарх: Математичка анализа I, Просветно Дело, Скопје, 1996