Извод од производ

При диференцирање на производ не се раководиме според принципот по кој диференцираме збир или разлика. Правилото при диференцирање на збир или разлика е: извод од збир (разлика) е збир (разлика) на изводи, што не е случај со производот.

Како се бара извод од производ на две функции?

Тврдењето ќе го дадеме формално, во вид на теорема:

Нека $f$ и $g$ се реални функции од една променлива, определени на интервалот $P$ и диференцијабилни во точка $x_0\in P$. Тогаш и нивниот производ $f\cdot g$ е диференцијабилен во точката $x_0\in P$ и при тоа важи:

$(f\cdot g{)}^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0)\cdot g(x_0)+f(x_0)\cdot g^{\prime }(x_0)$

Дополнително ако посочените функции се диференцијабилни во секоја точка од интервалот $P$, тогаш и нивниот производ е диференцијабилен на целиот интервал и формално се бележи:

$(f\cdot g{)}^{\prime }=f^{\prime }\cdot g+f\cdot g^{\prime }$

Доказ

Ќе дадеме и формален доказ. Нека се исполнети условите на теоремата, т.е. нека постојат изводите на функциите $f$ и $g$ во точката $x_0\in P$. Тогаш, според дефиницијата на извод имаме:

$f^{\prime }(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

$g^{\prime }(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}$

Бидејќи по дефиниција: $(f\cdot g)(x)=f(x)g(x)$, имаме:

$(f\cdot g{)}^{\prime }(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{(fg)(x)-(fg)(x_0)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0}=$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)+g(x)f(x_0)-g(x)f(x_0)}{x-x_0}=$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{g(x)(f(x)-f(x_0))+f(x_0)(g(x)-g(x_0))}{x-x_0}=$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot \underset{x\to x_0}{\lim }g(x)+f(x_0)\cdot \underset{x\to x_0}{\lim }\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=$

$=f^{\prime }(x_0)\cdot g(x_0)+f(x_0)\cdot g^{\prime }(x_0)◼$

Со тоа доказот е завршен.

Случај со повеќе од две функции

Кога веќе го покажавме правилото за две функции, лесно ќе го прошириме на три, четири и повеќе.

Нека се зададени функции $f,g,h,k$ и нека претпоставиме дека сите се диференцијабилни во некоја точка $x$. Тогаш имаме:

• Извод од производ на три функции во точка $x$:

$(fgh{)}^{\prime }=[f(gh){]}^{\prime }=f^{\prime }(gh)+f(gh{)}^{\prime }=f^{\prime }gh+f(g^{\prime }h+g{h}^{\prime })=f^{\prime }gh+f{g}^{\prime }h+fg{h}^{\prime }◼$

• Извод од производ на четири функции во точка $x$:

$(fghk{)}^{\prime }=[f(ghk){]}^{\prime }=f^{\prime }(ghk)+f(ghk{)}^{\prime }=f^{\prime }ghk+f(g^{\prime }hk+g{h}^{\prime }k+gh{k}^{\prime })=$

$f^{\prime }ghk+f{g}^{\prime }hk+fg{h}^{\prime }k+fgh{k}^{\prime }$

Поврзано

• Диференцијално сметање
• Извод од количник
• Интегрално сметање