Тангентен четириаголник

Тангентен четириаголник е секој четириаголник за кој важи дека кружница ги допира сите негови страни. Името тангентен потекнува од својството што секоја страна на четириаголникот е тангента на кругот.

Тангентен четириаголник со впишана кружница

Една од основните својства на тангентниот четириаголник:

Четириаголникот е тангентен ако и само ако симетралите на неговите внатрешни агли се пресекуваат во една точка.

Оваа особина го дефинира начинот на конструирање на центарот на впишаната кружница. Се конструираат симетралите на аглите и тие се сечат во центарот на впишаната кружница.

Исто така, важи и една важна особина поврзана со должините на страните:

Четириаголникот АБЦД е тангентен ако $|\overline{AB}|+|\overline{CD}|=|\overline{AD}|+|\overline{BC}|$ . Точно е и обратното - ако четириаголникот е тангентен, тогаш збирот на спротивните страни е меѓусебно еднаков.

Последицата е следна. Ако страниците се обележани со a, b, c, d, тогаш е

$a+c=b+d=\frac{a+b+c+d}{2}=s$

каде s е полупериметарот.

Ако страните на тангентниот четириаголник се a, b, c, d, и r е полупречник на впишаната кружница, тогаш неговата површина е дадена со формулата

$P=\frac{a+b+c+d}{2}\cdot r$

Четириаголниците во кои истовремено може да се впише и опише кружница се нарекуваат бицентрични четираголници или тетивно-тангентни четириаголници.

Примери

Примери на тангентни четириаголници се: квадрат, ромб и делтоид.

Четириаголниците за кои со сигурност знаеме дека во нив не можат да се впишат кружници (не се тангентни) се паралелограмот и правоаголникот. Кај рамнокракиот трапез, постои посебен случај кога може да се впише кружница.

Некои својства на тангентниот четириаголник

Нека тангентниот четириаголник $ABCD$ е трапез ( $\overline{AB}||\overline{CD}$ ), чии дијагонали се сечат во одредена точка $O$.

Ако се $r_1$, $r_2$, $r_3$ и $r_4$ полупречници на кружници впишани во триаголниците $\mathrm{\Delta }ABO$, $\mathrm{\Delta }BCO$, $\mathrm{\Delta }CDO$ и $\mathrm{\Delta }DAO$, тогаш

$\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_3}=\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_4}$

И, исто така, ако $s_1$, $s_2$, $s_3$ и $s_4$ се полупериметри на триаголниците $\mathrm{\Delta }ABO$, $\mathrm{\Delta }BCO$, $\mathrm{\Delta }CDO$ и $\mathrm{\Delta }DAO$, тогаш

$s_1+s_3=s_2+s_4$

Формули

Математички формули за тангентни четириаголници
Плоштина	$A=r\cdot (a+c)=r\cdot (b+d)$
	$A=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{p^2\cdot q^2-(a\cdot c-b\cdot d{)}^2}$
	$A=\sqrt{(e+f+g+h)\cdot (e\cdot f\cdot g+f\cdot g\cdot h+g\cdot h\cdot e+h\cdot e\cdot f)}$
	$A=\sqrt{a\cdot b\cdot c\cdot d-(e\cdot g-f\cdot h{)}^2}$
	$A=\sqrt{a\cdot b\cdot c\cdot d}\cdot \sin \left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right)=\sqrt{a\cdot b\cdot c\cdot d}\cdot \sin \left(\frac{\beta +\delta }{2}\right)$
Периметар	$U=2\cdot (a+c)=2\cdot (b+d)$
Должина на дијагоналите	$p=\sqrt{\frac{(e+g)\cdot ((e+g)\cdot (f+h)+4\cdot f\cdot h)}{f+h}}$
	$q=\sqrt{\frac{(f+h)\cdot ((e+g)\cdot (f+h)+4\cdot e\cdot g)}{e+g}}$
Полупречник на впишана кружница	$r=\frac{A}{a+c}=\frac{A}{b+d}$
	$r=\sqrt{\frac{e\cdot f\cdot g+f\cdot g\cdot h+g\cdot h\cdot e+h\cdot e\cdot f}{e+f+g+h}}$

Интересен посебен случај е кога тангентниот четириаголник го задоволува условот

$\alpha +\gamma =\beta +\delta$

Според оваа претпоставка, тангентниот четириаголник е истовремено тетивен четириаголник, т.е. четириаголник со впишана и опишана кружница. Формулата за плоштината на овие четириаголници е едноставна

$A=\sqrt{a\cdot b\cdot c\cdot d}$

Со помош на Питагоровата и косинусната теорема се добиваат должините на отсечките $k=\overline{PR}$ и $l=\overline{QS}$. Се применува

$k=\sqrt{\frac{e\cdot f\cdot g+f\cdot g\cdot h+g\cdot h\cdot e+h\cdot e\cdot f}{(e+f)\cdot (g+h)\cdot (e+g)\cdot (f+h)}}$

$l=\sqrt{\frac{e\cdot f\cdot g+f\cdot g\cdot h+g\cdot h\cdot e+h\cdot e\cdot f}{(e+h)\cdot (f+g)\cdot (e+g)\cdot (f+h)}}$

Ова резултира со соодносот на должините

$\frac{k}{l}=\sqrt{\frac{(f+g)\cdot (e+h)}{(e+f)\cdot (g+h)}}=\sqrt{\frac{b\cdot d}{a\cdot c}}$

Поврзано

• Тетивен четириаголник
• Тетивно-тангентен четириаголник

Литература

• Владимир Стојановић, Тетиве и тангенте, Математископ.