Точка на Ферма

Во Евклидовата геометрија, Ферматовата точка на триаголник, исто така позната како Торичелиева точка или точка на Ферма-Торичели, е точката за која збирот на трите растојанија од секое од трите темиња на триаголникот до точката е најмал^[1] или, еквивалентно, геометриската средина на трите темиња. Името на точката е такво затоа што овој проблем за прв пат го поставил Ферма во приватно писмо до Еванџелиста Торичели, кој го решил.

Точката на Ферма дава решение за проблемите на геометриската медијана и на Штајнеровото дрво за три точки.

Конструкција

Ферматовата точка на триаголник чиј најголем агол не е поголем од 120° е едноставно неговиот прв изогонски центар или X(13),^[2] кој се конструира на следниов начин:

Конструирај рамностран триаголник над секоја од две произволно избрани страни на дадениот триаголник.
Нацртајте линија од секое ново теме до спротивното теме на првобитниот триаголник.
Двете линии се сечат на точката Ферма.

Постои и алтернативен метод:

На секоја од две произволно избрани страни, конструирај рамнокрак триаголник, со основа на страната за која станува збор, агли од 30 степени во основата и третото теме од секој рамнокрак триаголник да лежи надвор од првобитниот триаголник.
За секој од рамнокраките триаголници нацртајте кружница со центар во новото теме на рамнокракиот триаголник и со радиус еднаков на секоја од двете нови страни на тој рамнокрак триаголник.
Пресекот на двете кружници во внатрешноста на оригиналниот триаголник е точката на Ферма.

Кога триаголникот има агол поголем од 120°, точката на Ферма се наоѓа на темето со тап агол.

Во она што следи, „случај 1“ значи дека триаголникот има агол поголем од 120°. „Случај 2“ значи дека ниеден агол на триаголникот не надминува 120°.

Локација на X(13)

На црт. 2 се прикажани рамнострани триаголници Предлошка:Мат доцртани над страните на произволниот триаголник Предлошка:Мат. Ќе наведеме еден доказ во кој се користат својствата на конциклични точки за да покаже дека трите линии Предлошка:Мпром на црт. 2 се сечат во точката Предлошка:Мпром и се сечат една со друга под агли од 60°.

Триаголниците Предлошка:Мат се складни бидејќи вториот е ротација од 60° на првиот околу темето Предлошка:Мпром. Оттука Предлошка:Мат и Предлошка:Мат . Од обратната насока на теоремата за впишан агол применета на отсечката Предлошка:Мпром, точките Предлошка:Мпром се конциклични (лежат на кружница). Слично на тоа, точките Предлошка:Мпром се конциклични.

Предлошка:Мат, па Предлошка:Мат, што се добива од теоремата за впишан агол. Слично, Предлошка:Мат.

Значи Предлошка:Мат и оттука Предлошка:Мат . Користејќи ја теоремата за впишан агол, ова имплицира дека точките Предлошка:Мпром се конциклични. Значи, користејќи ја теоремата за впишан агол применета на отсечката Предлошка:Мпром, Предлошка:Мат . Бидејќи Предлошка:Мат, точката Предлошка:Мпром лежи на отсечката Предлошка:Мпром . Значи, отсечките Предлошка:Мпром се конкурентни (тие се сечат во една точка). QED

Овој доказ се применува само во случајот 2, бидејќи ако Предлошка:Мат, точката Предлошка:Мпром лежи во внатрешноста на опишаната кружница околу Предлошка:Мат што ги менува релативните положби на Предлошка:Мпром и Предлошка:Мпром. Сепак, лесно се прилагодува за да го опфати и случајот 1. Тогаш Предлошка:Мат па оттука Предлошка:Мат што значи Предлошка:Мпром е концикличен па Предлошка:Мат . Затоа, Предлошка:Мпром лежи на Предлошка:Мпром .

Отсечките кои ги спојуваат центрите на кружниците на црт. 2 се нормални на отсечките Предлошка:Мпром . На пример, правата којашто го спојува центарот на кружницата која го содржи Предлошка:Мат и центарот на кружницата опишана околу Предлошка:Мат, е нормална на отсечката Предлошка:Мпром . Значи, правите кои ги спојуваат центрите на кружниците исто така се сечат под агли од 60°. Затоа, центрите на кружниците формираат рамностран триаголник. Ова тврдење е познато како Наполеонова теорема.

Локација на точката на Ферма

Традиционална геометрија

За даден произволен Евклидов триаголник Предлошка:Мат и произволна точка Предлошка:Мпром, нека $d (P) = | P A | + | P B | + | P C | .$ Целта на овој дел е да се идентификува точка Предлошка:Мат таква што $d (P_{0}) < d (P)$ за сите $P \neq P_{0} .$ Ако таква точка постои, тогаш тоа ќе биде точката на Ферма за триаголникот Предлошка:Мат. Во продолжение, Предлошка:Мат ќе ги означува точките во внатрешноста на триаголникот и се зема дека ја вклучува неговата граница Предлошка:Мат.

Клучен резултат што ќе се користи е правилото dogleg, кое тврди дека ако еден триаголник и многуаголник имаат една заедничка страна, а остатокот од триаголникот лежи внатре во многуаголникот, тогаш триаголникот има пократок периметар од многуаголникот:

Ако Предлошка:Мпром е заедничката страна, продолжете ја Предлошка:Мпром до пресекот со многуаголникот во точката Предлошка:Мпром. Тогаш, заради неравенството на триаголникот, периметарот на многуаголникот е:

Периметар > \overline{A B} + \overline{A X} + \overline{X B} = \overline{A B} + \overline{A C} + \overline{C X} + \overline{X B} ⩾ \overline{A B} + \overline{A C} + \overline{B C} .

Нека Предлошка:Мпром е која било точка надвор од Предлошка:Мат. Поврзете го секое теме со неговата оддалечена зона; односно полурамнината надвор од (продолжената) спротивна страна. Овие 3 зони ја покриваат целата рамнина освен самиот Предлошка:Мат и јасно е дека Предлошка:Мпром лежи во една или две од нив. Ако Предлошка:Мпром е во две од зоните (да речеме во пресекот на зоните Предлошка:Мпром и Предлошка:Мпром), тогаш $P^{'} = A$ имплицира $d (P^{'}) = d (A) < d (P)$ според правилото dogleg. Алтернативно, ако Предлошка:Мпром е само во една зона, на пример во Предлошка:Мпром - зоната, тогаш $d (P^{'}) < d (P)$ каде што Предлошка:Мпром е пресекот на Предлошка:Мпром и Предлошка:Мпром. Значи , за секоја точка Предлошка:Мпром надвор од Предлошка:Мат постои точка Предлошка:Мпром во Предлошка:Мат таква што $d (P^{'}) < d (P) .$

Случај 1. Триаголникот има агол ≥ 120°.

Без губење на општоста, да претпоставиме дека аголот при темето Предлошка:Мпром е ≥ 120°. Конструираме рамностран триаголник Предлошка:Мат и за која било точка Предлошка:Мпром во Предлошка:Мат (освен самата Предлошка:Мпром) конструираме Предлошка:Мпром така што триаголникот Предлошка:Мат да е рамностран и да ја има прикажаната ориентација. Тогаш триаголникот Предлошка:Мат е ротација од 60° на триаголникот Предлошка:Мат околу Предлошка:Мпром, така што овие два триаголника се складни и следува дека $d (P) = \overline{C P} + \overline{P Q} + \overline{Q F}$ што е едноставно должината на патеката Предлошка:Мпром. Бидејќи Предлошка:Мпром мора да лежи во рамките на Предлошка:Мат, според правилото dogleg должината на оваа патека е поголема од $\overline{A C} + \overline{A F} = d (A) .$ Затоа, $d (A) < d (P)$ за сите $P \in Δ, P \neq A .$ Сега дозволете Предлошка:Мпром да се движи надвор од Предлошка:Мат . Од погоре постои точка $P^{'} \in Ω$ така што $d (P^{'}) < d (P)$ и како $d (A) ⩽ d (P^{'})$ следува дека $d (A) < d (P)$ за сите Предлошка:Мпром надвор од Предлошка:Мат. Така, $d (A) < d (P)$ за сите $P \neq A$ што значи дека Предлошка:Мпром е точката на Ферма на Предлошка:Мат. Со други зборови, точката на Ферма се наоѓа на темето со тап агол .

Случај 2. Триаголникот нема агол ≥ 120°.

Конструираме рамностран триаголник Предлошка:Мат. Нека Предлошка:Мпром е која било точка во Предлошка:Мат. Го конструираме рамностраниот триаголник Предлошка:Мат . Тогаш Предлошка:Мат е слика при ротација за 60° на Предлошка:Мат околу Предлошка:Мпром така што

d (P) = \overline{P A} + \overline{P B} + \overline{P C} = \overline{A P} + \overline{P Q} + \overline{Q D}

што е едноставно должината на патеката Предлошка:Мпром . Нека Предлошка:Мат е точката во која се сечат Предлошка:Мпром и Предлошка:Мпром. Оваа точка најчесто се нарекува прв изогонски центар. Ако го направиме истото со Предлошка:Мат како и со Предлошка:Мпром, ја наоѓаме точката Предлошка:Мат. Заради аголното ограничување, Предлошка:Мат лежи во внатрешноста на Предлошка:Мат . Покрај тоа, Предлошка:Мат е слика при ротација од 60° на Предлошка:Мат околу Предлошка:Мпром, така што Предлошка:Мат мора да лежи некаде на Предлошка:Мпром. Бидејќи Предлошка:Мат, следува дека Предлошка:Мат лежи помеѓу Предлошка:Мат и Предлошка:Мпром што значи Предлошка:Мат е права линија, така што $d (P_{0}) = \overline{A D} .$ Покрај тоа, ако $P \neq P_{0}$ , тогаш или Предлошка:Мпром или Предлошка:Мпром нема да лежат на Предлошка:Мпром што значи $d (P_{0}) = \overline{A D} < d (P) .$ Сега, нека Предлошка:Мпром се движи надвор од Предлошка:Мат. Од претходно кажаното, постои точка $P^{'} \in Ω$ така што $d (P^{'}) < d (P)$ и како $d (P_{0}) \leq d (P^{'})$ следува дека $d (P_{0}) < d (P)$ за сите Предлошка:Мпром надвор од Предлошка:Мат. Тоа значи дека Предлошка:Мат е Ферматовата точка на Предлошка:Мат. Со други зборови, точката на Ферма се совпаѓа со првиот изогонски центар .

Векторска анализа

Нека Предлошка:Мпром се кои било пет точки во рамнината. Означете ги векторите $\vec{O A}, \vec{O B}, \vec{O C}, \vec{O X}$ со Предлошка:Мат соодветно, и нека Предлошка:Мат се единичните вектори од Предлошка:Мпром долж Предлошка:Мат .

\begin{matrix} | 𝐚 | & = 𝐚 \cdot 𝐢 = (𝐚 - 𝐱) \cdot 𝐢 + 𝐱 \cdot 𝐢 ⩽ | 𝐚 - 𝐱 | + 𝐱 \cdot 𝐢, \\ | 𝐛 | & = 𝐛 \cdot 𝐣 = (𝐛 - 𝐱) \cdot 𝐣 + 𝐱 \cdot 𝐣 ⩽ | 𝐛 - 𝐱 | + 𝐱 \cdot 𝐣, \\ | 𝐜 | & = 𝐜 \cdot 𝐤 = (𝐜 - 𝐱) \cdot 𝐤 + 𝐱 \cdot 𝐤 ⩽ | 𝐜 - 𝐱 | + 𝐱 \cdot 𝐤 . \end{matrix}

Со собирање на Предлошка:Мат се добива

| 𝐚 | + | 𝐛 | + | 𝐜 | ⩽ | 𝐚 - 𝐱 | + | 𝐛 - 𝐱 | + | 𝐜 - 𝐱 | + 𝐱 \cdot (𝐢 + 𝐣 + 𝐤) .

Ако Предлошка:Мат се среќаваат во Предлошка:Мпром под агли од 120° тогаш Предлошка:Мат, па

| 𝐚 | + | 𝐛 | + | 𝐜 | ⩽ | 𝐚 - 𝐱 | + | 𝐛 - 𝐱 | + | 𝐜 - 𝐱 |

за сите Предлошка:Мат . Со други зборови,

\overline{O A} + \overline{O B} + \overline{O C} ⩽ \overline{X A} + \overline{X B} + \overline{X C}

па затоа, Предлошка:Мпром е Ферматовата точка на Предлошка:Мат .

Овој аргумент не важи кога триаголникот има агол Предлошка:Мат бидејќи не постои точка Предлошка:Мпром во која Предлошка:Мпром се среќаваат под агли од 120°. Сепак, лесно се поправа со редефинирање Предлошка:Мат и поставување Предлошка:Мпром на Предлошка:Мпром така што Предлошка:Мат . Забележете дека Предлошка:Мат бидејќи аголот помеѓу единечните вектори Предлошка:Мат е Предлошка:Мат што надминува 120°. Бидејќи

| 𝟎 | ⩽ | 𝟎 - 𝐱 | + 𝐱 \cdot 𝐤,

третата неравенка сè уште важи, a другите две неравенки се непроменети. Доказот сега продолжува како погоре (со собирање на трите неравенки и користење на Предлошка:Мат ) за да се дојде до истиот заклучок дека Предлошка:Мпром (или во овој случај Предлошка:Мпром) мора да биде Ферматовата точка на Предлошка:Мат .

Множители на Лагранж

Друг пристап за наоѓање на точката во триаголник, од која збирот на растојанијата до темињата на триаголникот е минимален, е да се користи еден од методите за математичка оптимизација, или поточно, методот на Лагранжовите множители и косинусната теорема.

Цртаме отсечки од точка во триаголникот до неговите темиња и нив ги означуваме со Предлошка:Мат . Исто така, должината на овие прави нека биде Предлошка:Мпром соодветно. Нека аголот помеѓу Предлошка:Мат и Предлошка:Мат е Предлошка:Мпром, а аголот меѓу Предлошка:Мат и Предлошка:Мат е Предлошка:Мпром. Тогаш аголот помеѓу Предлошка:Мат и Предлошка:Мат е Предлошка:Мат . Користејќи го методот на Лагранжови множители, треба да го најдеме минимумот на Лагранжјанот Предлошка:Мпром, кој се изразува како:

L = x + y + z + λ_{1} (x^{2} + y^{2} - 2 x y \cos (α) - a^{2}) + λ_{2} (y^{2} + z^{2} - 2 y z \cos (β) - b^{2}) + λ_{3} (z^{2} + x^{2} - 2 z x \cos (α + β) - c^{2})

каде Предлошка:Мпром се должините на страните на триаголникот.

Со изедначување на секој од петте парцијални изводи $\frac{\partial L}{\partial x}, \frac{\partial L}{\partial y}, \frac{\partial L}{\partial z}, \frac{\partial L}{\partial α}, \frac{\partial L}{\partial β}$ на нула и со елиминација на Предлошка:Мат, на крајот се добива Предлошка:Мат и Предлошка:Мат па Предлошка:Мат . Сепак, елиминацијата е долга и мачна работа, а крајниот резултат го опфаќа само случајот 2.

Својства

Кога најголемиот агол на триаголникот не е поголем од 120°, X (13) е точката на Ферма.
Аглите над страните на триаголникот кај X (13) се сите еднакви на 120° (случај 2) или 60°, 60°, 120° (случај 1).
Опишаните кружници на трите конструирани рамнострани триаголници се сечат во X (13).
Трилиниските координати за првиот изогонски центар, X(13) се:^[3]

\begin{matrix} \csc (A + \frac{π}{3}) : \csc (B + \frac{π}{3}) : \csc (C + \frac{π}{3}) \\ = \sec (A - \frac{π}{6}) : \sec (B - \frac{π}{6}) : \sec (C - \frac{π}{6}) . \end{matrix}

Трилинеарните координати за вториот изогонски центар, X(14) се:

\begin{matrix} \csc (A - \frac{π}{3}) : \csc (B - \frac{π}{3}) : \csc (C - \frac{π}{3}) \\ = \sec (A + \frac{π}{6}) : \sec (B + \frac{π}{6}) : \sec (C + \frac{π}{6}) . \end{matrix}

Трилинеарните координати на точката на Ферма се:

1 - u + u v w \sec (A - \frac{π}{6}) : 1 - v + u v w \sec (B - \frac{π}{6}) : 1 - w + u v w \sec (C - \frac{π}{6})

кадешто Предлошка:Мпром соодветно ги означуваат Буловите променливи Предлошка:Мат .

Изогонскиот конјугат на X(13) е првата изодинамичка точка, X(15):

\sin (A + \frac{π}{3}) : \sin (B + \frac{π}{3}) : \sin (C + \frac{π}{3}) .

Изогонскиот конјугат на X(14) е втората изодинамичка точка, X(16):

\sin (A - \frac{π}{3}) : \sin (B - \frac{π}{3}) : \sin (C - \frac{π}{3}) .

Следниве триаголници се рамнострани:
- Антипедален триаголник од X(13)
- Антипедален триаголник од X(14)
- Триаголник на педалата од X(15)
- Триаголник на педалата од X(16)
- Циркумцевски триаголник од X(15)
- Циркумцевски триаголник од X(16)
Правите X(13) X(15) и X(14) X(16) се паралелни со Ојлеровата права. Трите прави се среќаваат во Ојлеровата бесконечна точка, X(30).
Точките X(13), X(14), околниот центар и центарот на кружницата на девет точки лежат на Лестеровата кружница.
Правата X (13) X (14) се среќава со Ојлеровата линија на средината на X (2) и X (4).^[4]
Точката на Ферма лежи во отворениот ортоцентроиден диск пробиен во неговиот центар и може да биде која било точка во него.^[5]

Алијаси

Изогонските центри X(13) и X(14) се исто така познати како прва и втора точка на Ферма соодветно. Алтернативни називи се позитивна и негативната точка на Ферма. Сепак, овие различни имиња можат да бидат збунувачки и можеби е најдобро да се избегнуваат. Проблемот е што голем дел од литературата ја замаглува разликата помеѓу поимите точка на Ферма и прва точка на Ферма, додека само во случајот 2 погоре тие се всушност исти.

Историја

Ова прашање било поставено од Ферма, како предизвик за Еванџелиста Торичели. Тој го решил проблемот на сличен начин како оној на Ферма, иако наместо тоа го искористил пресекот на кружниците на трите правилни триаголници. Неговиот ученик Вивиани го објавил решението во 1659 година.

Поврзано

Геометриска медиана или точка на Ферма-Вебер, точка која го минимизира збирот на растојанија до повеќе од три дадени точки.
Лестерова теорема
Центар на триаголник
Точки на Наполеон
Проблемот на Вебер

Наводи

Предлошка:Наводи

↑ Cut The Knot - The Fermat Point and Generalizations
↑ Предлошка:Наведено списание See X₁₃, p. 174.
↑ Entry X(13) in the Encyclopedia of Triangle Centers Предлошка:Семарх
↑ Предлошка:Наведена мрежна страница
↑ Christopher J. Bradley and Geoff C. Smith, "The locations of triangle centers", Forum Geometricorum 6 (2006), 57--70. http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200607index.html Предлошка:Семарх

Надворешни врски

Предлошка:Springer
Fermat Point by Chris Boucher, The Wolfram Demonstrations Project.
Fermat-Torricelli generalization at Dynamic Geometry Sketches Interactive sketch generalizes the Fermat-Torricelli point.
A practical example of the Fermat point
iOS Interactive sketch

[1] Cut The Knot - The Fermat Point and Generalizations

[2] Предлошка:Наведено списание See X₁₃, p. 174.

[3] Entry X(13) in the Encyclopedia of Triangle Centers Предлошка:Семарх

[ETC-4] Предлошка:Наведена мрежна страница

[Bradley-5] Christopher J. Bradley and Geoff C. Smith, "The locations of triangle centers", Forum Geometricorum 6 (2006), 57--70. http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200607index.html Предлошка:Семарх

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Точка на Ферма

Содржина

Конструкција

Локација на X(13)

Локација на точката на Ферма

Традиционална геометрија

Векторска анализа

Множители на Лагранж

Својства

Алијаси

Историја

Поврзано

Наводи

Надворешни врски

Прегледник

Точка на Ферма

Конструкција

Локација на X(13)

Локација на точката на Ферма

Традиционална геометрија

Векторска анализа

Множители на Лагранж

Својства

Алијаси

Историја

Поврзано

Наводи

Надворешни врски

Прегледник

Пребарај