Алгебарска дропка

Во алгебрата алгебарска дропка е дропка чиј броител и именител се алгебарски изрази. Два примери на алгебарски дропки се $\frac{3x}{x^2+2x-3}$ и $\frac{\sqrt{x+2}}{x^2-3}$. Алгебарските дропки подлежат на истите закони како и аритметичките дропки.

Рационална дропка е алгебарска дропка чиј броител и именител се и полиноми. Така $\frac{3x}{x^2+2x-3}$ е рационална дропка, но не $\frac{\sqrt{x+2}}{x^2-3},$ бидејќи броителот содржи функција од квадратен корен.

Терминологија

Во алгебарската дропка $\frac{a}{b}$, деленикот a се нарекува броител, а делителот b се нарекува именител. Броителот и именителот се нарекуваат членови на алгебарската дропка.

Сложена дропка е дропка чиј броител или именител, или и двата, содржи дропка. Простата дропка не содржи дропка ниту во својот броител ниту во својот именител. Дропката е најниска ако единствениот заеднички фактор за броителот и именителот е 1.

Израз што не е во дробен облик е интегрален израз. Интегрален израз секогаш може да се напише во дробен облик (како дропка) со давање именител 1. Мешан израз е алгебарски збир на еден или повеќе интегрални изрази и еден или повеќе дробни членови.

Рационални дропки

Ако изразите a и b се полиноми, алгебарската дропка се нарекува рационална алгебарска дропка или едноставно рационална дропка. Рационалните дропки се познати и како рационални изрази. Рационалната дропка $\frac{f(x)}{g(x)}$ се нарекува правилна ако $\mathrm{deg}f(x)<\mathrm{deg}g(x)$, а доколку тоа не е исполнето се нарекува неправилна. На пример, рационалната дропка $\frac{2x}{x^2-1}$ е правилна, а рационалните дропки $\frac{x^3+x^2+1}{x^2-5x+6}$ и $\frac{x^2-x+1}{5x^2+3}$ се неправилни. Секоја неправилна рационална дропка може да се изрази како збир на полином (можеби константа) и правилна рационална дропка. Во првиот пример на неправилна дропка се има

$\frac{x^3+x^2+1}{x^2-5x+6}=(x+6)+\frac{24x-35}{x^2-5x+6},$

каде што вториот член е правилна рационална дропка. Збирот на две правилни рационални дропки е исто така правилна рационална дропка. Обратниот процес на искажување правилна рационална дропка како збир од две или повеќе дропки се нарекува нејзино разрешување во парцијални дропки. На пример,

$\frac{2x}{x^2-1}=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}.$

Овде, двата члена од десната страна се нарекуваат парцијални дропки.

Ирационални дропки

Ирационална дропка е онаа што ја содржи променливата под дробен степен. Пример за ирационална дропка е

$\frac{x^{1/2}-\frac{1}{3}a}{x^{1/3}-x^{1/2}}.$

Постапката на промена на ирационална дропка во рационална дропка е познат како рационализација. Секоја ирационална дропка во која радикалите се мономи може да се рационализира со наоѓање на најмалиот заеднички содржател од индексите на корените и замена на променливата за друга променлива со најмалиот заеднички содржател како експонент. Во дадениот пример, најмалиот заеднички множител е 6, па затоа можеме да го замениме $x=z^6$ да се добие

$\frac{z^3-\frac{1}{3}a}{z^2-z^3}.$

Поврзано

• Разложување на рационални дропки