Квадратна пирамида

Предлошка:Инфокутија Полиедар Квадратна пирамида — пирамида со квадратна основа, која има вкупно пет лица. Ако врвот на пирамидата е непосредно над средиштето на квадратот, тоа е права квадратна пирамида со четири рамнокраки триаголници; инаку, тоа е коса квадратна пирамида. Кога сите рабови на пирамидата се еднакви по должина, нејзините триаголници се сите рамнострани и се нарекува рамнострана квадратна пирамида.

Квадратните пирамиди се појавиле низ историјата на архитектурата, со примери како египетските пирамиди и многу други слични градби. Тие се појавуваат и во хемијата во квадратни пирамидални молекуларни структури. Квадратни пирамиди често се користат во изградбата на други полиедри. Многу математичари во древно време ја откриле формулата за зафатнина на квадратна пирамида со различни пристапи.

Својства

Рамнострана квадратна пирамида

Квадратна пирамида има пет темиња, осум рабови и пет лица. Едното лице, наречено основа на пирамидата, е квадрат; четирите други лица се триаголници.Предлошка:Sfnp Четири од рабовите го сочинуваат квадратот со поврзување на неговите четири темиња. Останатите четири рабови се познати како бочни рабови на пирамидата; тие се среќаваат на петтото теме, наречено врв.[4] Ако врвот на пирамидата лежи на линија подигната нормално од средиштето на квадратот, таа се нарекува права квадратна пирамида, а четирите триаголни лица се рамнокраки триаголници. Инаку, пирамидата има две или повеќе нерамнокраки триаголни лица и се нарекува коса квадратна пирамида.Предлошка:Sfnp

Косата висина $s$ на права квадратна пирамида се дефинира како висина на еден од нејзините рамнокраки триаголници. Може да се добие преку Питагоровата теорема: $s = \sqrt{b^{2} - \frac{l^{2}}{4}},$

каде $l$ е должината на основата на триаголникот, исто така, еден од рабовите на квадратот, $b$ е должината на краците на триаголникот, кои се бочни рабови на пирамидата. [6] Висината $h$ на правата квадратна пирамида може да се добие на сличен начин, со замена на формулата за бочна висина која дава:Предлошка:Sfnp

$h = \sqrt{s^{2} - \frac{l^{2}}{4}} = \sqrt{b^{2} - \frac{l^{2}}{2}} .$

Плоштината на полиедарот е збир од плоштините на неговите лица. Плоштината $A$ на права квадратна пирамида може да се изрази како $A = 4 T + S$ , каде $T$ и $S$ се плоштините на еден од неговите триаголници и неговата основа, соодветно. Плоштината на триаголникот е половина од производот на неговата основа и страна, при што плоштината на квадрат е должината на страната на квадрат. Ова го дава изразот:Предлошка:Sfnp $A = 4 (\frac{1}{2} l s) + l^{2} = 2 l s + l^{2} .$ Во општ случај, зафатнината $V$ на пирамидата е еднаква на една третина од плоштината на нејзината основа помножена со нејзината висина.Предлошка:Sfnp Изразено во формула за квадратна пирамида, ова е:Предлошка:Sfnp $V = \frac{1}{3} l^{2} h .$

Многу математичари ја откриле формулата за пресметување на зафатнината на квадратна пирамида во древно време. Во Московскиот математички папирус, египетските математичари покажале познавање на формулата за пресметување на зафатнината на пресечена квадратна пирамида, што претполага дека тие биле запознаени и со зафатнината на квадратна пирамида, но не е познато како е изведена формулата. Надвор од откривањето на зафатнината на квадратната пирамида, проблемот со наоѓање на наклонот и висината на квадратната пирамида може да се најде во Рајндскиот математички папирус.Предлошка:Sfnp Вавилонските математичари исто така ја земале предвид зафатнината на пресечена квадратна пирамида, но дале неточна формула за тоа.Предлошка:Sfnp Еден кинески математичар Лиу Хуи исто така ја открил зафатнината со методот на расчленување на правоаголно тело на делови.Предлошка:Sfnp

Права квадратна пирамида

Податотека:J1 square pyramid.stl Ако сите триаголни рабови се со еднаква должина, четирите триаголници се рамнострани, а лицата на пирамидата се правилни многуаголници, таа е рамнострана квадратна пирамида.Предлошка:Sfnp Диедарските агли помеѓу соседните триаголни лица се $\arccos (- 1 / 3) \approx 109.4 7^{\circ}$ , а помеѓу основата и секое триаголно лице е половина од тоа, $\arctan \sqrt{2} \approx 54.73 5^{\circ}$ .Предлошка:Sfnp Конвексен полиедар со само правилни многуаголници како лица се нарекува Џонсоново тело, а рамнострана квадратна пирамида е првото Џонсоново тело, наброено како $J_{1}$ .Предлошка:Sfnp Како и другите прави пирамиди со правилен многуаголник како основа, правата квадратна пирамида има пирамидална симетрија. За квадратната пирамида, ова е симетријата на цикличната група $C_{4 v}$ : пирамидата останува непроменлива со ротации од една, две и три четвртини од цело завртување околу нејзината оска на симетрија, линијата што го поврзува врвот со средиштето на основата. Исто така е огледално симетрична во однос на која било нормална рамнина што минува низ симетралата на основата.Предлошка:Sfnp Може да се претстави како граф-тркало $W_{4}$ ; поопшто,граф-тракло $W_{n}$ е претставата на скелетот на Предлошка:Безпреломстранична пирамида.Предлошка:Sfnp

Бидејќи неговите рабови се сите еднакви по должина (т.е. $b = l$ ), неговата косина, висина, плоштина и зафатнина може да се изведат со замена на формулите на права квадратна пирамида: Предлошка:Sfnmp $\begin{matrix} s = \frac{\sqrt{3}}{2} l \approx 0.866 l, & h = \frac{1}{\sqrt{2}} l \approx 0.707 l, \\ A = (1 + \sqrt{3}) l^{2} \approx 2.732 l^{2}, & V = \frac{\sqrt{2}}{6} l^{3} \approx 0.236 l^{3} . \end{matrix}$

Примени

Предлошка:Multiple image Во архитектурата, пирамидите изградени во древниот Египет се примери на згради во облик на квадратни пирамиди.Предлошка:Sfnp Пирамидолозите изнеле различни предлози за нацртот на Големата пирамида во Гиза, вклучително и теорија заснована на Кеплеровиот триаголник и златниот пресек. Меѓутоа, современите научници ги претпочитаат описите кои користат целобројни соодноси, бидејќи повеќе соодветствуваат со знаењето на египетската математика и сразмери.^[1] Мезоамериканските пирамиди се исто така древни пирамидални градби слични на египетските; тие се разликуваат по тоа што имаат рамни врвови и скали кои се качуваат по нивните лица.Предлошка:Sfnmp Модерните згради чии дизајни ги имитираат египетските пирамиди ги вклучуваат Луврската пирамида и казино хотелот Луксор Лас Вегас.Предлошка:Sfnmp

Во стереохемијата, атомскиот кластер може да има квадратна пирамидална геометрија. Квадратна пирамидална молекула има елемент од главната група со еден активен осамен пар, кој може да се опише со модел кој ја предвидува геометријата на молекулите познат како теорија на одбивност на електронски пар Предлошка:Sfnp Примери на молекули со оваа структура вклучуваат хлор пентафлуорид, бром пентафлуорид и јод пентафлуорид.Предлошка:Sfnp

Тетракис хексаедар, конструкција на полиедри со зголемување на вклучените квадратни пирамиди

Основата на квадратна пирамида може да се прикачи на квадратна страна на друг полиедар за да се конструираат нови полиедри, пример за зголемување. На пример, тетракис хексаедар може да се конструира со прикачување на основата на рамнострана квадратна пирамида на секое лице на коцка.Предлошка:Sfnp Прикачувањето на призми или антипризми на пирамидите е познато како издолжување или жироиздолжување, соодветно.Предлошка:Sfnp Некои од другите Џонсонови тела може да се конструираат или со зголемување на квадратни пирамиди или со зголемување на други облици со квадратни пирамиди: издолжена квадратна пирамида $J_{8}$ , жироиздолжена квадратна пирамида $J_{10}$ , издолжена квадратна бипирамида $J_{15}$ , жироиздолжена квадратна бипирамида $J_{17}$ , зголемена триаголна призма $J_{49}$ , бизголемена триаголна призма $J_{50}$ , тризголемена триаголна призма $J_{51}$ , зголемена пентагонална призма $J_{52}$ , бизголемена пентагонална призма $J_{53}$ , зголемена шестоаголна призма $J_{54}$ , парабизголемена шестоаголна призма $J_{55}$ , метазголемена шестоаголна призма $J_{56}$ , тризголемена шестоаголна призма $J_{57}$ , и зголемена сфенокорона $J_{87}$ .^[2]

Поврзано

Квадратен пирамидален број - природен број кој го брои бројот на наредени сфери во квадратна пирамида.

Наводи

Предлошка:Наводи

Литература

Предлошка:Refbegin

Предлошка:Refend

Надворешни врски

Weisstein, Eric W., "Square pyramid" ("Johnson solid") at MathWorld.
Предлошка:MathWorld
Square Pyramid – Interactive Polyhedron Model
Virtual Reality Polyhedra georgehart.com: The Encyclopedia of Polyhedra (VRML model Предлошка:Семарх)

↑ Предлошка:Harvard citation text surveys many alternative theories for this pyramid's shape. See Chapter 11, "Kepler triangle theory", pp. 80–91, for material specific to the Kepler triangle, and p. 166 for the conclusion that the Kepler triangle theory can be eliminated by the principle that "A theory must correspond to a level of mathematics consistent with what was known to the ancient Egyptians." See note 3, p. 229, for the history of Kepler's work with this triangle. See Предлошка:Harvard citation text, pp. 67–68, quoting that "there is no direct evidence in any ancient Egyptian written mathematical source of any arithmetic calculation or geometrical construction which could be classified as the Golden Section ... convergence to $φ$ , and $φ$ itself as a number, do not fit with the extant Middle Kingdom mathematical sources"; see also extensive discussion of multiple alternative theories for the shape of the pyramid and other Egyptian architecture, pp. 7–56. See also Предлошка:Harvard citation text and Предлошка:Harvard citation text.
↑ Предлошка:Harvard citation text, pp. 84–89. See Table 12.3, where $P_{n}$ denotes the Предлошка:Безпрелом prism and $A_{n}$ denotes the Предлошка:Безпрелом antiprism.

[1] Предлошка:Harvard citation text surveys many alternative theories for this pyramid's shape. See Chapter 11, "Kepler triangle theory", pp. 80–91, for material specific to the Kepler triangle, and p. 166 for the conclusion that the Kepler triangle theory can be eliminated by the principle that "A theory must correspond to a level of mathematics consistent with what was known to the ancient Egyptians." See note 3, p. 229, for the history of Kepler's work with this triangle. See Предлошка:Harvard citation text, pp. 67–68, quoting that "there is no direct evidence in any ancient Egyptian written mathematical source of any arithmetic calculation or geometrical construction which could be classified as the Golden Section ... convergence to $φ$ , and $φ$ itself as a number, do not fit with the extant Middle Kingdom mathematical sources"; see also extensive discussion of multiple alternative theories for the shape of the pyramid and other Egyptian architecture, pp. 7–56. See also Предлошка:Harvard citation text and Предлошка:Harvard citation text.

[2] Предлошка:Harvard citation text, pp. 84–89. See Table 12.3, where $P_{n}$ denotes the Предлошка:Безпрелом prism and $A_{n}$ denotes the Предлошка:Безпрелом antiprism.

[1]

[2]

Квадратна пирамида

Содржина

Својства

Рамнострана квадратна пирамида

Права квадратна пирамида

Примени

Поврзано

Наводи

Литература

Надворешни врски

Прегледник

Квадратна пирамида

Својства

Рамнострана квадратна пирамида

Права квадратна пирамида

Примени

Поврзано

Наводи

Литература

Надворешни врски

Прегледник

Пребарај