Права на Њутн-Гаус

Предлошка:Legend-lineПредлошка:Legend-line

Во геометријата, Њутн-Гаусовата права (или Гаус-Њутновата права) е правата која ги спојува средишните точки на трите дијагонали на комплетен четириаголник.

Средишните точки на двете дијагонали на конвексен четириаголник со најмногу две паралелни страни се различни и на тој начин одредуваат права, наречена Њутнова права. Ако страните на таков четириаголник се продолжат за да формираат комплетен четириаголник, дијагоналите на четириаголникот остануваат дијагонали на комплетниот четириаголник, а Њутновата права на четириаголникот е Њутн-Гаусовата права на комплетниот четириаголник.

Комплетни четириаголници

Секои четири прави во општа положба (меѓу кои нема две паралелни и нема три кои се сечат во иста точка) формираат комплетен четириаголник. Оваа конфигурација се состои од вкупно шест точки, пресечните точки на четирите линии, со три точки на секоја права и точно по две прави низ секоја точка. Овие шест точки може да се поделат во парови така што отсечките на правите определени со кој било пар не се сечат со ниту една од дадените четири прави освен во крајните точки. Овие три отсечки се нарекуваат дијагонали на комплетниот четириаголник.

Постоење на правата на Њутн-Гаус

Етикети кои се користат за доказ за целосен четириаголник

Добро е позната теоремата дека трите средишни точки на дијагоналите на комплетен четириаголник се колинеарни. Постојат неколку докази за резултатот во кои се користат плоштини или надворешни производи или, како следниов доказ, на теоремата на Менелај, која се должи на Хилер и е објавена во 1920 година.

Нека целосниот четириаголник $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ е означен како на дијаграмот со дијагонали $\overline{A{A}^{\prime }},\overline{B{B}^{\prime }},\overline{C{C}^{\prime }},$ и нивните соодветни средишни точки Предлошка:Мпром. Нека средните точки на $BC,C{A}^{\prime },A^{\prime }B,$ се Предлошка:Мпром соодветно. Користејќи слични триаголници, се гледа дека Предлошка:Мпром ja сече Предлошка:Мпром во Предлошка:Мпром, Предлошка:Мпром ја сече Предлошка:Мпром во Предлошка:Мпром и Предлошка:Мпром ја сече Предлошка:Мпром во Предлошка:Мпром. Повторно, од слични триаголници се добиваат следниве пропорции:

$\frac{\overline{RL}}{\overline{LQ}}=\frac{\overline{BA}}{\overline{AC}},\frac{\overline{QN}}{\overline{NP}}=\frac{\overline{A^{\prime }{C}^{\prime }}}{\overline{C^{\prime }B}},\frac{\overline{PM}}{\overline{MR}}=\frac{\overline{C{B}^{\prime }}}{\overline{B^{\prime }{A}^{\prime }}}.$

Меѓутоа, правата Предлошка:Мат ги сече страните на Предлошка:Мат, така што според теоремата на Менелај, производот на членовите на десната страна е −1. Така, производот на членовите од левата страна е исто така −1 и повторно според теоремата на Менелај, точките Предлошка:Мпром се колинеарни и се на страните на триаголникот Предлошка:Мат.

Примени кај тетивни четириаголници

Следниве резултати се само некои во кои се користи Њутн-Гаусовата права за комплетни четириаголници и кои се поврзани со тетивните четириаголници, врз основа на работата на Барбу и Патраску.

Еднакви агли

Слика 1: Еднаквост на агли.

За даден тетивен четириаголник Предлошка:Мпром, нека точката Предлошка:Мпром е пресечната точка на двете дијагонали Предлошка:Мпром и Предлошка:Мпром. Продолжете ги дијагоналите Предлошка:Мпром и Предлошка:Мпром до пресечната точка Предлошка:Мпром. Нека средишната точка на отсечката Предлошка:Мпром е Предлошка:Мпром, а средната точка на отсечката Предлошка:Мпром е Предлошка:Мпром (слика 1).

Теорема

Ако средишната точка на отсечката Предлошка:Мпром е Предлошка:Мпром, Њутн-Гасовата права на комплетниот четириаголник Предлошка:Мпром и правата Предлошка:Мпром одредуваат агол Предлошка:Мат еднаков на Предлошка:Мат.

Доказ

Прво покажете дека Предлошка:Мат и Предлошка:Мат се слични.

Бидејќи Предлошка:Мат и Предлошка:Мат, знаеме Предлошка:Мат. Исто така, $\frac{\overline{BE}}{\overline{PN}}=\frac{\overline{FC}}{\overline{PM}}=2.$

Во тетивниот четириаголник Предлошка:Мпром, важат овие еднаквости:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\angle }EDF& =\mathrm{\angle }ADF+\mathrm{\angle }EDA,\\ & =\mathrm{\angle }ACB+\mathrm{\angle }ABC,\\ & =\mathrm{\angle }EAC.\end{array}$

Затоа, Предлошка:Мат.

Нека Предлошка:Мат се радиусите на опишаните кружници околу Предлошка:Мат соодветно. Со примена на синусната теорема на триаголниците, се добива:

$\frac{\overline{BE}}{\overline{FC}}=\frac{2R_1\sin \mathrm{\angle }EDB}{2R_2\sin \mathrm{\angle }FDC}=\frac{R_1}{R_2}=\frac{2R_1\sin \mathrm{\angle }EBD}{2R_2\sin \mathrm{\angle }FCD}=\frac{\overline{DE}}{\overline{DF}}.$

Бидејќи Предлошка:Мат и Предлошка:Мат, добиваме дека $\frac{\overline{PN}}{\overline{PM}}=\frac{\overline{DE}}{\overline{DF}}.$ Следува сличноста на триаголниците Предлошка:Мат од каде Предлошка:Мат.

Забелешка

Ако Предлошка:Мпром е средишна точка на отсечката Предлошка:Мпром, со истото резонирање следи дека Предлошка:Мат.

Слика 2: Изогонални линии.

Изогонални линии

Теорема

Правата низ Предлошка:Мпром паралелна со Њутн-Гаусовата права на комплетниот четириаголник Предлошка:Мпром и правата Предлошка:Мпром се изогонални линии на Предлошка:Мат, т.е. секоја права е слика на другата во однос на симетралата на аголот. (Слика 2)

Доказ

Триаголниците Предлошка:Мат се слични според горенаведениот аргумент, па затоа Предлошка:Мат. Нека Предлошка:Мпром е пресечната точка на Предлошка:Мпром и правата паралелна на Њутн-Гасовата права Предлошка:Мпром кој минува низ Предлошка:Мпром.

Бидејќи Предлошка:Мат и Предлошка:Мат имаме дека Предлошка:Мат и Предлошка:Мат.

Затоа,

$\begin{array}{cc}\mathrm{\angle }CE{E}^{\prime }& =\mathrm{\angle }DEF-\mathrm{\angle }{E}^{\prime }EF,\\ & =\mathrm{\angle }PNM-\mathrm{\angle }FNM,\\ & =\mathrm{\angle }PNF=\mathrm{\angle }BEF.\end{array}$

Два тетивни четириаголника кои имаат заедничка Њутн-Гаусова права

Слика 3: Четириаголниците Предлошка:Мпром се тетивни.

Лема

Нека Предлошка:Мпром и Предлошка:Мпром се ортогоналните проекции на точката Предлошка:Мпром врз правите Предлошка:Мпром и Предлошка:Мпром соодветно.

Четиристраниците Предлошка:Мпром и Предлошка:Мпром се тетивни четириаголници.

Доказ

Предлошка:Мат, како што претходно беше покажано. Tочките Предлошка:Мпром и Предлошка:Мпром сe соодветните центри на опишаните кружници на правоаголните триаголници Предлошка:Мат. Затоа, Предлошка:Мат и Предлошка:Мат.

Затоа,

$\begin{array}{cc}\mathrm{\angle }PGN+\mathrm{\angle }PMN& =(\mathrm{\angle }PGF+\mathrm{\angle }FGN)+\mathrm{\angle }PMN\\ & =\mathrm{\angle }PFG+\mathrm{\angle }GFN+\mathrm{\angle }EFD\\ & =180^{\circ }\end{array}.$

Според тоа, Предлошка:Мпром е тетивен четириаголник, и според истото резонирање, Предлошка:Мпром исто така лежи на кружница.

Слика 4: Покажува дека комплетните четириаголници Предлошка:Мпром имаат иста Њутн-Гаусова права.

Теорема

Продолжете ги правите Предлошка:Мпром до нивните пресеци со Предлошка:Мпром - во точките Предлошка:Мпром соодветно (слика 4).

Комплетните четириаголници Предлошка:Мпром и Предлошка:Мпром имаат иста Њутн-Гаусова права.

Доказ

Двата комплетни четириаголници имаат заедничка дијагонала, Предлошка:Мпром. Предлошка:Мпром лежи на Њутн-Гаусовата права на двата четириаголника. Предлошка:Мпром е подеднакво оддалечена од Предлошка:Мпром и Предлошка:Мпром, бидејќи е центарот на опишаната кружница околу тетивниот четириаголник Предлошка:Мпром.

Ако триаголниците Предлошка:Мат се складни, па ќе следи дека Предлошка:Мпром лежи на симетралата на правата Предлошка:Мпром. Според тоа, правата Предлошка:Мпром ја содржи средишната точка на Предлошка:Мпром и е Њутн-Гаусова права на Предлошка:Мпром.

За да покажете дека триаголниците Предлошка:Мат се конгруентни, прво забележете дека Предлошка:Мпром е паралелограм, бидејќи точките Предлошка:Мпром се средни точки на Предлошка:Мпром соодветно.

Затоа,

$\begin{array}{cc}& \overline{MP}=\overline{QF}=\overline{HQ},\\ & \overline{GP}=\overline{PF}=\overline{MQ},\\ & \mathrm{\angle }MPF=\mathrm{\angle }FQM.\end{array}$

Забележете и дека

$\mathrm{\angle }FPG=2\mathrm{\angle }PBG=2\mathrm{\angle }DBA=2\mathrm{\angle }DCA=2\mathrm{\angle }HCF=\mathrm{\angle }HQF.$

Оттука,

$\begin{array}{cc}\mathrm{\angle }MPG& =\mathrm{\angle }MPF+\mathrm{\angle }FPG,\\ & =\mathrm{\angle }FQM+\mathrm{\angle }HQF,\\ & =\mathrm{\angle }HQF+\mathrm{\angle }FQM,\\ & =\mathrm{\angle }HQM.\end{array}$

Затоа, Предлошка:Мат и Предлошка:Мат се складни според признакот САС.

Забелешка

Поради тоа што Предлошка:Мат се складни триаголници, нивните опишани кружници Предлошка:Мпром се исто така складни.

Историја

Доказот за Њутн-Гаусовата права бил развиен од двајцата математичари по кои е именуван: сер Исак Њутн и Карл Фридрих Гаус. Почетната рамка за оваа теорема е од работата на Њутн, во неговата претходна теорема за Њутновата права, во која Њутн покажал дека центарот на кониката впишана во четириаголник лежи на Њутн-Гаусовата права.

Теоремата на Гаус и Боденмилер вели дека трите кружници чии дијагонали се дијагонали на комплетен четириаголник се коаксални.