Рамнодијагонален четириаголник

Рамнодијагонален четириаголник, прикажани се неговите еднакви дијагонали, Варињоновиот ромб и нормалните бимедијани

Во Евклидовата геометрија, рамнодијагонален или еквидијагонален четириаголник е испакнат четириаголник чии две дијагонали имаат еднаква должина. Рамнидијагоналните четириаголници биле важни во древната индиска математика, каде што четириаголниците прво биле класифицирани според тоа дали се рамнодијагонални, а потоа во повеќе специјализирани видови.

Посебни случаи

Во рамнодијагонални четириаголници спаѓаат рамнокраките трапези, правоаголниците и квадратите.

Рамнодијагонален делтоид што го максимизира односот на обемот и пречникот, впишан во Релоов триаголник

Помеѓу сите четириаголници, обликот што има најголем однос на неговиот обем и неговиот пречник е рамнодијагонален делтоид со агли π/3, 5π/12, 5π/6 и 5π/12.

Особини

Испакнат четириаголник е рамнодијагонален ако и само ако неговиот Варињонов паралелограм, паралелограмот образуван од средните точки на неговите страни, е ромб. Еквивалентен услов е бимедијаните на четириаголникот (дијагоналите на Варињоновиот паралелограм) да бидат нормални.

Испакнат четириаголник со дијагонални должини $p$ и $q$ и бимедијални должини $m$ и $n$ е рамнодијагонален ако и само ако: Предлошка:Rp

$pq=m^2+n^2.$

Плоштина

Плоштината K на рамнодијагонален четириаголник лесно може да се пресмета ако се знае должината на бимедијаните m и n. Четириаголникот е рамнодијагонален ако и само ако: Предлошка:Rp Предлошка:Rp

$K=mn.$

Ова е непосредна последица на фактот дека плоштината на испакнатиот четириаголник е двапати поголема од плоштината на неговиот Варињонов паралелограм и дека дијагоналите во овој паралелограм се бимедијани на четириаголникот. Користејќи ги формулите за должините на бимедијаните, плоштината може да се изрази и во однос на страните a, b, c, d на рамнодијагоналниот четириаголник и растојанието x помеѓу средните точки на дијагоналите како:Предлошка:Rp

$K=\frac{1}{4}\sqrt{(2(a^2+c^2)-4x^2)(2(b^2+d^2)-4x^2)}.$

Други формули за плоштина може да се добијат со поставување p = q во формулите за плоштина на испакнат четириаголник.

Врска со други видови четириаголници

Паралелограмот е рамнодијагонален ако и само ако е правоаголник, а трапезот е рамнодијагонален ако и само ако е рамнокрак трапез. Тетивните рамнодијагонални четириаголници се токму рамнокракните трапези.

Постои двојство помеѓу рамнодијагоналните и ортодијаголните четириаголници: четириаголникот е рамностран ако и само ако неговиот Варињонов паралелограм е ортодијагонален (ромб), а четириаголникот е ортодијагонален ако и само ако неговиот Варињонов паралелограм е рамнодијагонален (правоаголник). Еквивалентно, четириаголник има еднакви дијагонали ако и само ако има нормални бимедијани, и има нормални дијагонали ако и само ако има еднакви бимедијани. Силвестер (2006) дава дополнителни врски помеѓу рамнодијагоналните и ортодијагоналните четириаголници, преку обопштување на Ван Обеповата теорема.

Четириаголниците кои се и ортодијагонални и рамнодијагонални, и кај кои дијагоналите се долги барем колку сите страни на четириаголникот, имаат максимална површина за нивниот дијаметар меѓу сите четириаголници, решавајќи го случајот n = 4 на најголемиот мал проблем со многуаголник . Квадратот е еден таков четириаголник, но има бескрајно многу други. Рамнодијагоналните, ортодијагонални четириаголници се нарекуваат средноквадратни четириаголници Предлошка:Rpбидејќи тие се единствените за кои Варињоновиот паралелограм (со темиња во средните точки на страните на четириаголникот) е квадрат. Таков четириаголник, со последователни страни a, b, c, d, има површина:Предлошка:Rp

$K=\frac{1}{4}(a^2+c^2+\sqrt{4(a^2{c}^2+b^2{d}^2)-(a^2+c^2{)}^2}).$

Средноквадратен паралелограм е точно квадрат.

• 
  Пример на средноквадратен четириаголник
• 
  Средноквадратен трапез
• 
  Средноквадратен делтоид
• 
  „средноквадратен паралелограм“, квадрат

Надворешни врски

• A Van Aubel like property of an Equidiagonal Quadrilateral at Dynamic Geometry Sketches, interactive geometry sketches.