Список на лимеси

Ова е список на лимеси на вообичаени функции како што се елементарните функции. Во оваа статија, поимите a, b и c се константи.

Лимеси на општи функции

Дефиниции на лимеси и сродни концепти

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L$ ако и само ако Предлошка:Безпрелом

Ова е (ε, δ)-дефиниција на гранична вредност.

Горниот и долниот лимес на низата се дефинирани како

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\underset{m\ge n}{\sup }{x}_m\right)$ и $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\underset{m\ge n}{\inf }{x}_m\right)$.

За функција, $f(x)$, се вели дека е континуирана во точка, c, ако

$$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=f(c).$$

Операции на еден познат лимес

Ако $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L$ тогаш:

• $\underset{x\to c}{\lim }[f(x)\pm a]=L\pm a$
• $\underset{x\to c}{\lim }af(x)=aL$
• $\underset{x\to c}{\lim }\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{L}$ ако L не е еднаков на 0.
• $\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^n=L^n$ ако n е позитивен цел број
• $\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{\frac{1}{n}}=L^{\frac{1}{n}}$ ако n е позитивен цел број, а ако n е парен, тогаш L > 0.

Општо земено, ако g (x) е континуирана во L и $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L$ тогаш

• $\underset{x\to c}{\lim }g(f(x))=g(L)$

Операции на два познати лимеси

Ако $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L_1$ и $\underset{x\to c}{\lim }g(x)=L_2$ тогаш:

• $\underset{x\to c}{\lim }[f(x)\pm g(x)]=L_1\pm L_2$
• $\underset{x\to c}{\lim }[f(x)g(x)]=L_1\cdot L_2$
• $\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L_1}{L_2}\text{ ако }{L}_2\ne 0$

Лимеси кои вклучуваат изводи или инфинитиземални промени

Во овие граници, бесконечно малата промена $h$ често се означува $\mathrm{\Delta }x$ или $\delta x$. Ако $f(x)$ е диференцијабилна во $x$ ,

• $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f^{\prime }(x)$. Ова е дефиницијата за извод. Сите правила за вадење извод, исто така, може да се дефинираат како правила што вклучуваат лимеси. На пример, ако g ( x ) е диференцијабилна во x ,
  • $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\circ g(x+h)-f\circ g(x)}{h}=f^{\prime }[g(x)]g^{\prime }(x)$. Ова е правило за извод од сложена функција.
  • $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$. Ова е правилото за производ.
• $\underset{h\to 0}{\lim }{\left(\frac{f(x+h)}{f(x)}\right)}^{1/h}=\exp \left(\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}\right)$
• $\underset{h\to 0}{\lim }{\left(\frac{f(e^{h}x)}{f(x)}\right)}^{1/h}=\exp \left(\frac{x{f}^{\prime }(x)}{f(x)}\right)$

Ако $f(x)$ и $g(x)$ се диференцијабилни во отворен интервал кој го содржи c, освен можеби самиот c, и $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0\text{ или }\pm \mathrm{\infty }$, може да се користи Лопиталовото правило:

• $\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

Нееднаквости

Ако $f(x)\le g(x)$ за сите x во интервал кој го содржи c, освен можеби самиот c, и лимесите на $f(x)$ и $g(x)$ постојат во c, тогаш $$\underset{x\to c}{\lim }f(x)\le \underset{x\to c}{\lim }g(x)$$Ако $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\underset{x\to c}{\lim }h(x)=L$ и $f(x)\le g(x)\le h(x)$ за сите x во отворен интервал кој го содржи c, освен можеби самиот c ,$$\underset{x\to c}{\lim }g(x)=L.$$Ова е познато како теорема на стискање. Ова се однесува дури и во случаите кога f ( x ) и g ( x ) добиваат различни вредности на c, или се дисконтинуирани при c.

Полиноми и функции во облик x^a

• $\underset{x\to c}{\lim }a=a$

Полиноми по x

• $\underset{x\to c}{\lim }x=c$
• $\underset{x\to c}{\lim }(ax+b)=ac+b$
• $\underset{x\to c}{\lim }{x}^n=c^n$ ако n е позитивен цел број
• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }x/a=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& a>0\\ \text{не постои},& a=0\\ -\mathrm{\infty },& a<0\end{array}$

Генерално, ако $p(x)$ е полином тогаш, според континуитетот на полиномите, $$\underset{x\to c}{\lim }p(x)=p(c)$$Ова важи и за рационалните функции, бидејќи тие се континуирани во нивните домени.

Функции во облик x^a

• $\underset{x\to c}{\lim }{x}^a=c^a.$ Посебно,
  • $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^a=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& a>0\\ 1,& a=0\\ 0,& a<0\end{array}$
• $\underset{x\to c}{\lim }{x}^{1/a}=c^{1/a}$. Посебно,
  • $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^{1/a}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[a]{x}=\mathrm{\infty }\text{ за кое било }a>0$
• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^{-n}=\lim \frac{1}{x^n}=+\mathrm{\infty }$
• $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }{x}^{-n}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x^n}=\{\begin{array}{cc}-\mathrm{\infty },& \text{ако }n\text{ е непарен}\\ +\mathrm{\infty },& \text{ако }n\text{ е парен}\end{array}$
• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }a{x}^{-1}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }a/x=0\text{ за кое било реално }a$

Експоненцијални функции

Функции во облик a^g(x)

• $\underset{x\to c}{\lim }{e}^x=e^c$, поради континуитетот на $e^x$
• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& a>1\\ 1,& a=1\\ 0,& 0<a<1\end{array}$
• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^{-x}=\{\begin{array}{cc}0,& a>1\\ 1,& a=1\\ \mathrm{\infty },& 0<a<1\end{array}$
• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[x]{a}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^{1/x}=\{\begin{array}{cc}1,& a>0\\ 0,& a=0\\ \text{не постои},& a<0\end{array}$

Функции во облик x^g(x)

• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[x]{x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^{1/x}=1$

Функции во облик f(x)^g(x)

• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{x}{x+k}\right)}^x=e^{-k}$
• $\underset{x\to 0}{\lim }{(1+x)}^{\frac{1}{x}}=e$
• $\underset{x\to 0}{\lim }{(1+kx)}^{\frac{m}{x}}=e^{mk}$
• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{x})}^x=e$
• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1-\frac{1}{x})}^x=\frac{1}{e}$
• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{k}{x})}^{mx}=e^{mk}$
• $\underset{x\to 0}{\lim }{(1+a\left(e^{-x}-1\right))}^{-\frac{1}{x}}=e^a$. Оваа граница може да се изведе од оваа граница.

Суми, производи и композити

• $\underset{x\to 0}{\lim }x{e}^{-x}=0$
• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }x{e}^{-x}=0$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{a^x-1}{x}\right)=\ln a,$ за сите позитивни а.
• $\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{e^x-1}{x}\right)=1$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{e^{ax}-1}{x}\right)=a$

Логаритамски функции

Природни логаритми

• $\underset{x\to c}{\lim }\ln x=\ln c$, поради континуитетот на $\ln x$. Посебно,
  • $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\log x=-\mathrm{\infty }$
  • $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\log x=\mathrm{\infty }$
• $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln (x)}{x-1}=1$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (x+1)}{x}=1$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\ln (1+a\left(e^{-x}-1\right))}{x}=a$. Оваа граница произлегува од Лопиталовото правило.
• $\underset{x\to 0}{\lim }x\ln x=0$, оттука $\underset{x\to 0}{\lim }{x}^x=1$
• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\ln x}{x}=0$

Логаритми на произволни основи

За b > 1,

• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{b}x=-\mathrm{\infty }$
• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_{b}x=\mathrm{\infty }$

За b < 1,

• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{b}x=\mathrm{\infty }$
• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_{b}x=-\mathrm{\infty }$

И двата случаи може да се обопштат на:

• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{b}x=-F(b)\mathrm{\infty }$
• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_{b}x=F(b)\mathrm{\infty }$

каде $F(x)=2H(x-1)-1$ и $H(x)$ е Хевисајдовата функција

Тригонометриски функции

Ако $x$ се изразува во радијани:

• $\underset{x\to a}{\lim }\sin x=\sin a$
• $\underset{x\to a}{\lim }\cos x=\cos a$

И двата овие лимеси произлегуваат од континуитетот на sin и cos.

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$. Или, општо,
  • $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin ax}{ax}=1$, за не еднаков на 0.
  • $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin ax}{x}=a$
  • $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin ax}{bx}=\frac{a}{b}$, за b не е еднакво на 0.
• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }x\sin \left(\frac{1}{x}\right)=1$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x-1}{x}=0$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$
• $\underset{x\to n^{\pm }}{\lim }\tan (\pi x+\frac{\pi }{2})=\mp \mathrm{\infty }$, за цел број n.
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x}{x}=1$. Или, општо,
  • $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan ax}{ax}=1$, за не еднаков на 0.
  • $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan ax}{bx}=\frac{a}{b}$, за b не е еднакво на 0.
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{n}{\underbrace{\sin \sin \cdots \sin (x_0)}}=0$, каде што x₀ е произволен реален број.
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{n}{\underbrace{\cos \cos \cdots \cos (x_0)}}=d$, каде што d е Дотиев број. x₀ може да биде кој било произволен реален број.

Суми

Општо земено, секоја бесконечна серија е граница на нејзините парцијални збирови. На пример, аналитичката функција е границата на нејзината Тејлорова серија, во нејзиниот радиус на конвергенција.

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}=\mathrm{\infty }$. Ова е познато како хармониска серија.
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\log n)=\gamma$. Ова е Ојлер-Маскерониева константа.

Забележителни посебни граници

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(n!)}^{1/n}=\mathrm{\infty }$. Ова може да се докаже со разгледување на нееднаквоста $e^x\ge \frac{x^n}{n!}$ на $x=n$.
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{2}^n\underset{n}{\underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\dots +\sqrt{2}}}}}}=\pi$. Ова може да се изведе од Виетовата формула за π.

Ограничувачко однесување

Асимптотски еквиваленции

Асимптотските еквиваленции, $f(x)\sim g(x)$, се вистинити ако $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=1$. Затоа, тие исто така може да се преформулираат како лимеси. Некои значајни асимптотски еквиваленции се:

• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x/\ln x}{\pi (x)}=1$, поради теоремата за прости броеви, $\pi (x)\sim \frac{x}{\ln x}$, каде π(x) е функција на распределба на простите броеви.
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n}{n!}=1$, поради Стирлинговата формула, $n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$.

Нотација големо О

Однесувањето на функциите опишани со ноцаија големо O може да се опише и со лимеси. На пример

• $f(x)\in 𝒪(g(x))$ ако $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{|f(x)|}{g(x)}<\mathrm{\infty }$